##  [Método de Runge-Kutta](/es/node/59729) 

 Definición

Una familia de esquemas de integración mono-paso para ecuaciones diferenciales ordinarias de valor inicial que combinan evaluaciones ponderadas de la derivada en etapas intermedias para alcanzar un orden deseado de precisión y propiedades de estabilidad.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Avanzar la solución de un nivel temporal al siguiente calculando un conjunto de evaluaciones de etapas (pendientes) del lado derecho, combinarlas con pesos específicos (tabla de Butcher) y producir una actualización consistente de orden alto sin historial multi-paso.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Usar un Runge–Kutta clásico de cuarto orden (RK4) para integrar y' = f(t,y): calcular cuatro pendientes en tiempos intermedios, combinarlas con los pesos 1/6, 1/3, 1/3, 1/6 y actualizar y_{n+1} = y_n + h * suma_ponderada para obtener precisión local de cuarto orden.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar un método Runge–Kutta explícito con paso demasiado grande en una EDO rígida puede causar inestabilidad numérica; en regímenes rígidos se requieren métodos implícitos o variantes RK específicas para rigidez.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Los métodos Runge–Kutta ofrecen control flexible del error de truncamiento local, adaptación sencilla del paso (mediante pares embebidos) y evaluación paralela de etapas en algunas implementaciones, por lo que son ampliamente usados para integración de EDO.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Contrasta con métodos lineales multi-paso: Runge–Kutta usa solo información del paso actual y evaluaciones intermedias, mientras que los multi-paso dependen de pasos pasados y pueden ser más eficientes para problemas suaves cuando la historia es barata.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Diseñados para problemas iniciales de ODE; problemas de valor en la frontera, sistemas diferencial-algebraicos o problemas muy rígidos pueden necesitar métodos especializados o variantes RK implícitas.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre la simplicidad de los RK explícitos y la estabilidad de los esquemas implícitos: los RK explícitos son sencillos y baratos por etapa pero están limitados por regiones de estabilidad, mientras que los RK implícitos amplían la estabilidad a costa de resolver sistemas no lineales por paso.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Los métodos Runge–Kutta construyen integradores mono-paso de alto orden combinando evaluaciones derivadas en etapas según una tabla de Butcher, equilibrando precisión, estabilidad y coste computacional según la rigidez del problema y el control del paso.