##  [Método de Monte Carlo](/es/node/59711) 

 Definición

Una familia de técnicas computacionales que estiman cantidades numéricas (integrales, esperanzas, probabilidades, objetivos de optimización) mediante muestreo aleatorio y agregación estadística, apoyándose en leyes probabilísticas para la convergencia.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Aprovechar la ley de los grandes números y el comportamiento del límite central: aproximar E[f(X)] por la media muestral de f(X_i) para muestras i.i.d. o adecuadamente ponderadas, y cuantificar el error mediante la varianza y los intervalos de confianza; la reducción de varianza mejora la eficiencia.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Estimara una integral sobre [0,1]^d extrayendo N muestras independientes uniformes y calculando la media muestral de f; por ejemplo, aproximar π muestreando (x,y) en el cuadrado unidad y contando la fracción dentro del círculo unidad. Aumentar N reduce el error Monte Carlo aproximadamente como 1/√N.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar Monte Carlo sin evaluar varianza o dependencias (p. ej., secuencias pseudoaleatorias demasiado correlacionadas, muestras insuficientes, o integrandos de colas pesadas ignorados) produce estimaciones engañosas; suponer una convergencia tan rápida como la cuadratura determinista en alta dimensión es un uso indebido frecuente.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona estimadores flexibles y robustos frente a la dimensionalidad para integrales de alta dimensión y cuantificación de incertidumbre; apoya la inferencia probabilística, optimización estocástica y simulación de modelos complejos donde los métodos deterministas son inviables.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La cuadratura determinista o el quasi-Monte Carlo sustituyen la aleatoriedad por muestreo estructurado; el quasi-Monte Carlo puede lograr tasas más rápidas para integrandos lisos mediante secuencias de baja discrepancia, invirtiendo el intercambio aleatoriedad/varianza bajo otras hipótesis.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere un mecanismo de muestreo (aleatorio o de baja discrepancia) y una cuantificación del error por la varianza; la tasa asintótica suele ser O(N^{-1/2}) para muestreo independiente, por lo que Monte Carlo no es uniformemente superior para integrandos lisos en baja dimensión donde métodos deterministas convergen más rápido.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Hay tensión con la integración numérica determinista y el quasi-Monte Carlo: Monte Carlo canjea precisión determinista por garantías estadísticas y practicidad en alta dimensión, mientras que métodos quasi-deterministas reducen la varianza bajo supuestos de regularidad y pueden superar a un Monte Carlo ingenuo.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El Método De Monte Carlo convierte la aleatoriedad en un recurso computacional: mediante muestreo y promediado transforma cantidades analíticas intratables en estimadores con error estadístico cuantificable, siendo más eficaz cuando la dimensionalidad o la complejidad del modelo vuelve impracticables las alternativas deterministas.