## [Principio del Módulo Máximo](/es/node/59680) Definición Teorema del análisis complejo que afirma: si f es holomorfa y no constante en un abierto conexo, entonces |f| no puede alcanzar un máximo local (o interior); cualquier máximo global de |f| en un dominio acotado ocurre en la frontera del dominio salvo que f sea constante. ## Principio Principio El módulo de una función holomorfa se comporta como una función subarmónica (log|f| es subarmónica), por lo que los máximos interiores están prohibidos para funciones holomorfas no constantes; la analiticidad impone rigidez en los valores. ## Demostración Demostración En una región acotada D, si f es holomorfa y |f(z0)| = max_D |f|, la subarmonicidad de log|f| implica que log|f| es constante y por tanto f es constante. Ejemplo: un polinomio no constante no alcanza su máximo de módulo en el interior de un abierto acotado, sino en la curva que delimita su frontera. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicarlo a funciones no holomorfas, a funciones meromorfas sin tratar los polos, o a dominios desconectados; para funciones armónicas el principio del máximo actúa de forma diferente (sobre la propia función, no sobre su módulo). ## Consecuencia Consecuencia Corolarios inmediatos: teorema de aplicación abierta (las aplicaciones holomorfas no constantes son abiertas), continuación única y fuertes restricciones sobre ceros y conjuntos de nivel; subyace a muchos resultados de unicidad y problemas extremales en análisis complejo. ## Inversión Inversión La afirmación del mínimo de módulo requiere modificación: si f no tiene ceros, 1/f es holomorfa y aplicar el principio del módulo máximo a 1/f da un principio del mínimo para |f|. Una inversión directa que afirme mínimos interiores para una holomorfa arbitraria es falsa salvo que se use la construcción recíproca tras verificar ausencia de ceros. ## Límite Límite Supone holomorfía en un abierto conexo y excluye singularidades y puntos de ramificación en el interior; las afirmaciones para funciones meromorfas requieren tratar los polos por separado, y para funciones armónicas o reales analíticas la estructura difiere. ## Tensión semántica Tensión semántica Cercano a los principios del máximo para funciones armónicas pero distinto en alcance: el principio del módulo máximo trata |f| y usa la analiticidad (subarmonicidad de log|f|), mientras que los principios armónicos se aplican directamente a soluciones reales de la ecuación de Laplace. ## Síntesis Síntesis El Principio del Módulo Máximo condensa la analiticidad en una afirmación de rigidez: una función holomorfa no constante no puede tener su módulo máximo en el interior, lo que implica apertura, propiedades de unicidad y control sobre dónde pueden darse comportamientos extremales.