## [Región de Estabilidad](/es/node/59660) Definición Subconjunto de valores de parámetros (habitualmente pasos de tiempo o parámetros complejos de prueba) para los cuales un algoritmo numérico produce iterados acotados o controlados, es decir, no amplifica errores ni provoca crecimiento no acotado cuando se aplica a problemas de prueba canónicos. ## Principio Principio El factor de amplificación o el polinomio de estabilidad de un método evaluado en la ecuación de prueba lineal canónica (p. ej. y' = λy) define la región en el plano complejo z = λh donde el módulo del factor de amplificación ≤ 1; la pertenencia a esa región asegura la acotación para el problema de prueba. ## Demostración Demostración Para Euler explícito aplicado a y' = λy la región de estabilidad es el disco {z : |1+z| < 1} con z = hλ; Euler implícito tiene como región de estabilidad todo el semiplano izquierdo, lo que explica su idoneidad para problemas rígidos. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar la región de estabilidad de un método, calculada en ecuaciones de prueba lineales, como garantía global para todos los problemas no lineales o para la precisión (en lugar de la acotación) es un uso indebido. ## Consecuencia Consecuencia Elegir tamaños de paso o parámetros dentro de la región de estabilidad evita el crecimiento numérico de errores para las dinámicas correspondientes y guía la selección del método (p. ej. métodos A‑estables para problemas rígidos). ## Inversión Inversión La región de inestabilidad es el complemento donde los factores de amplificación superan la unidad y los iterados pueden crecer sin límite, causando colapso numérico incluso si el error local de truncamiento es pequeño. ## Límite Límite Las regiones de estabilidad se definen respecto a problemas de prueba, normas y clases de problemas específicas; no garantizan convergencia ni precisión en sistemas no lineales arbitrarios y pueden depender de detalles de implementación como el control de paso variable. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión con nociones de convergencia y precisión: un método puede ser estable (acotado) pero inexacto, y una región de estabilidad pequeña puede bastar si las dinámicas están dentro; la rigidez interactúa con el tamaño y la forma de la región. ## Síntesis Síntesis La región de estabilidad condensa el comportamiento de acotación de un método numérico en un criterio sobre parámetros: identifica combinaciones paso‑espectro admisibles para las que los iterados numéricos permanecen controlados e informa la elección del método y del paso.