##  [Método de Diferencias Finitas](/es/node/59628) 

 Definición

Técnica numérica que aproxima derivadas reemplazándolas por cocientes de diferencias algebraicas evaluados en una malla discreta de puntos, produciendo ecuaciones algebraicas que aproximan ecuaciones diferenciales.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Sustituir derivadas continuas por operadores de diferencia discretos cuyo error de truncamiento, junto con las propiedades de estabilidad del esquema resultante, determina la convergencia a la solución continua.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Resolver la ecuación del calor unidimensional reemplazando ∂²u/∂x² por la diferencia central (u_{i+1}-2u_i+u_{i-1})/Δx² para obtener un sistema de EDO o ecuaciones algebraicas según la discretización temporal.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar una discretización explícita ingenua con un paso de tiempo demasiado grande que viole la condición de estabilidad (CFL), produciendo explosión numérica u oscilaciones no físicas.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Genera sistemas algebraicos dispersos o sistemas de EDO cuya solución aproxima valores puntuales del campo continuo; el error depende del orden de la diferencia y del espaciado de la malla.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

En lugar de aproximar derivadas en puntos, adoptar una formulación integral o débil (volúmenes finitos o elementos finitos) que imponga conservación o continuidad débil en lugar de aproximaciones puntuales de derivadas.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica principalmente a problemas cuya geometría del dominio y condiciones de contorno son compatibles con mallas estructuradas o lógicamente rectangulares; los estencils directos de diferencias son menos apropiados en dominios muy irregulares o mallas no estructuradas sin adaptación.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Compite con métodos de volumen finito (énfasis en el balance de flujos entre volúmenes de control) y métodos de elementos finitos (formularios débiles); las diferencias finitas enfatizan la aproximación puntual y local de derivadas con estencils compactos.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un enfoque sencillo basado en malla para convertir operadores diferenciales en operadores de diferencia: fácil de implementar en mallas regulares, regido por error de truncamiento y estabilidad, pero limitado por la geometría y requisitos de conservación salvo adaptación.