## [Iteración de Punto Fijo](/es/node/59625) Definición Un procedimiento iterativo que busca un punto fijo x = G(x) de una aplicación G aplicando G repetidamente a una aproximación inicial: x_{k+1} = G(x_k). La convergencia depende de la contractividad u otras propiedades de G. ## Principio Principio La idea organizadora es reformular el problema como la búsqueda de un punto autoconsistente de un mapa y entonces usar la aplicación repetida de ese mapa; el teorema del punto fijo de Banach da una condición suficiente simple (contracción) que garantiza punto fijo único y convergencia lineal. ## Demostración Demostración Resolver x = cos(x) iterando x_{k+1} = cos(x_k) desde x_0; como cos es una contracción en [0,1], los iterados convergen al punto fijo único ≈0,739085, ilustrando la iteración de Picard para ecuaciones no lineales escalares. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar la iteración de punto fijo de forma ingenua a un mapa con constante de Lipschitz ≥1 o sin precondicionamiento apropiado puede fallar en converger o hacerlo muy lentamente; elegir una mala reformulación G(x) de f(x)=0 puede impedir cualquier avance. ## Consecuencia Consecuencia Cuando el mapa es contractivo o está convenientemente amortiguado, la iteración de punto fijo proporciona un solver simple y robusto con convergencia lineal predecible y bajo costo por iteración; subyace a muchos esquemas iterativos incluyendo la linearización de Picard para EDPs. ## Inversión Inversión El contraste es la linealización de Newton: en lugar de aplicar repetidamente el mapa original, Newton resuelve correcciones linealizadas proporcionando convergencia local potencialmente más rápida (superlineal o cuadrática) a costa de resolver sistemas lineales. ## Límite Límite Es aplicable cuando se puede construir un mapa G cuyos puntos fijos sean equivalentes al problema original y que tenga propiedades contractivas o promediadas; excluye mapas no continuos o problemas donde solo se acepta la convergencia rápida basada en derivadas. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión con Newton y métodos quasi-Newton: la iteración de punto fijo es más barata y simple pero más lenta; también hay tensión con variantes aceleradas o de múltiples pasos que añaden memoria o mezcla para mejorar la convergencia. ## Síntesis Síntesis La iteración de punto fijo reconvierte un problema en x = G(x) y aplica G repetidamente, confiando en la contractividad o amortiguamiento para la convergencia; es conceptualmente simple, de bajo coste por iteración y base de muchos algoritmos de linealización y descomposición, aunque su velocidad depende críticamente de las propiedades del mapa.