## [Método de Newton](/es/node/59623) Definición Un método iterativo para hallar raíces o resolver problemas no lineales que utiliza la linealización local mediante la derivada (unidimensional) o el jacobiano (multidimensional) para actualizar aproximaciones resolviendo ecuaciones lineales en cada paso. ## Principio Principio La regla organizadora es aproximar el mapeo no lineal por su expansión de Taylor de primer orden alrededor del iterado actual y tomar la raíz de esa aproximación lineal como el siguiente iterado, lo que conduce a convergencia cuadrática local cuando el jacobiano es no singular y la conjetura inicial está suficientemente cerca. ## Demostración Demostración Resolver F(x)=0 para un sistema de ecuaciones no lineales iterando x_{k+1} = x_k − J_F(x_k)^{-1} F(x_k); para un escalar f con raíz simple, la actualización es x_{k+1}=x_k − f(x_k)/f'(x_k), que converge rápidamente si la derivada en la raíz no es cero. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar el método de Newton con una mala aproximación inicial puede llevar a divergencia, ciclos o convergencia a una raíz no deseada; aplicarlo cuando el jacobiano es singular o casi singular provoca inestabilidad; omitir regularización o amortiguamiento en contextos mal condicionados es peligroso. ## Consecuencia Consecuencia Cuando es aplicable, el método de Newton ofrece convergencia local muy rápida (cuadrática) y refinamiento preciso de raíces; es la base de muchos solucionadores no lineales y esquemas implícitos de paso temporal cuando se acompaña de solucionadores lineales robustos y estrategias de globalización. ## Inversión Inversión La perspectiva inversa se basa únicamente en métodos de primer orden (gradiente o iteraciones de paso fijo) que evitan resolver sistemas lineales y solo tienen convergencia lineal, o en buscadores de raíces sin derivadas que cambian velocidad por robustez. ## Límite Límite Requiere diferenciabilidad del mapeo y un jacobiano invertible en la raíz (o pseudo-inversas apropiadas); la convergencia global no está garantizada sin búsqueda en línea, región de confianza u otras técnicas de globalización; excluye problemas no diferenciables salvo variantes no suaves. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre métodos tipo Newton y métodos quasi-Newton o de la secante: Newton usa jacobianos exactos para mayor velocidad local pero a mayor coste por iteración y sensibilidad; los quasi-Newton sacrifican algo de velocidad asintótica por mayor robustez y actualizaciones más económicas. ## Síntesis Síntesis El método de Newton linealiza el problema no lineal en cada iterado, resuelve la aproximación lineal y actualiza la solución; su potencia reside en la rápida convergencia local cuando hay derivadas disponibles y bien condicionadas, requiriendo en la práctica globalización y regularización.