##  [Yoneda-Lemma](/de/node/61397) 

 Definition

Aussage der Kategorientheorie, dass für jede lokal kleine Kategorie C, jedes Objekt A ∈ C und jeden Funktor F: C^op → Set eine natürliche Bijektion zwischen natürlichen Transformationen Hom_C(-,A) ⇒ F und den Elementen von F(A) besteht; diese Bijektion ist natürlich in A und F und liefert die Yoneda-Einbettung von C in die Funktorkategorie [C^op,Set].

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Objekte werden durch die Abbildungen in sie hinein bestimmt: Das ‚Abtasten‘ von A durch Hom(-,A) kodiert seine Beziehungen und übersetzt natürliche Transformationen in konkrete Elemente des Funktorwerts bei A.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In der Kategorie der Mengen, mit A = {0,1} und F = Hom_Set(-,A), entspricht eine natürliche Transformation η: Hom(-,A) ⇒ F genau dem Element η_A(id_A) ∈ F(A), was die Bijektion direkt illustriert. Allgemeiner entsprechen repräsentierbare Prägarben ihrem repräsentierenden Objekt durch diese Bijektion.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Den Satz als Identifikation der Objekte selbst fehlinterpretieren statt als Identifikation der Abbildungen in Funktoren; zum Beispiel anzunehmen, Hom(-,A) = F als Funktoren, wenn nur punktweise Elemente übereinstimmen, ohne Naturalitätsbedingungen zu prüfen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Eine Kategorie lässt sich vollständig und treu in ihre Prägarbenkategorie einbetten via A ↦ Hom(-,A); isomorphismusinvariante Eigenschaften von Objekten lassen sich als Eigenschaften ihrer repräsentierbaren Funktoren untersuchen, viele Eindeutigkeitsbeweise reduzieren sich auf Gleichheit natürlicher Transformationen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Kontravarianz umkehren: Betrachtet man Hom(A,-) (kovarianter Hom), ergeben sich analoge Aussagen mit anderer Varianz und anderer Einbettung (C → [C,Set]) — Naturalitätsbedingungen und Struktur ändern sich entsprechend.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Voraussetzung ist eine lokal kleine Kategorie, sodass Hom-Mengen echte Mengen sind und die Funktoren Ziele in Set haben; der Satz bezieht sich auf natürliche Transformationen zwischen setwertigen Prägarben und behauptet nicht, dass beliebige Prägarben repräsentierbar sind.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Zwischen ‚Element von F(A)‘ und ‚natürliche Transformation Hom(-,A) ⇒ F‘: die Spannung liegt darin, dass ein punktweises Element weniger aussieht als eine natürliche Familie von Abbildungen, doch Yoneda zeigt, dass diese bei Naturalität äquivalent sind.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Yoneda-Lemma vereinigt die Idee, dass ein Objekt vollständig durch hineinfließende Abbildungen bestimmt ist: Repräsentierbare Funktoren Hom(-,A) fungieren als Sonden, die natürliche Transformationen in konkrete Elemente umsetzen und so eine treue Einbettung erzeugen, welche kategoriale Beziehungen in mengenbasierte Daten überführt.