## [Limit-Kreis-Fall](/de/node/61379) Definition Eine Weyl-Klassifikation für einen Endpunkt eines symmetrischen Differentialausdrucks zweiter Ordnung, bei der jede lokale Lösung nahe dem Endpunkt quadratintegrierbar ist; daher sind dort zusätzliche Randbedingungen erforderlich, um selbstadjungierte Erweiterungen zu erhalten. ## Prinzip Prinzip Wenn alle unabhängigen lokalen Lösungen in L2 nahe einem Endpunkt liegen, erzeugt der Defekt eine Familie selbstadjungierter Erweiterungen, die durch Randbedingungen parametriert sind; der Endpunkt heißt 'limit-circle'. ## Demonstration Demonstration Für L[y] = -y'' + q(x)y auf (a,b), wenn für x→b jede Lösung in L2(a,b) liegt, dann ist b limit-circle; klassische Beispiele sind bestimmte singuläre Potentiale, bei denen beide Lösungen quadratintegrierbar werden. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Ein limit-circle-Endpunkt fälschlich als limit-point zu behandeln und Randdaten wegzulassen, was zu nicht eindeutigen selbstadjungierten Erweiterungen oder zu unvollständiger Spektralanalyse führt. ## Konsequenz Konsequenz Im limit-circle-Fall muss man Randbedingungen am Endpunkt wählen (einen Parameter oder eine Bedingung), um eine selbstadjungierte Erweiterung zu bestimmen; spektrale Eigenschaften hängen explizit von dieser Wahl ab. ## Umkehrung Umkehrung Das Umgekehrte ist der Limit-Punkt-Fall, bei dem höchstens eine L2-Lösung vorhanden ist und kein Randparameter am Endpunkt nötig ist. ## Abgrenzung Abgrenzung Betreffend symmetrische Differentialoperatoren zweiter Ordnung und deren Endpunktklassifikation; ohne eine entsprechende Defekttheorie verallgemeinert dies nicht automatisch auf nicht-symmetrische Kontexte. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Wird leicht mit einem regulären Endpunkt verwechselt, an dem Lösungen quadratintegrierbar sind ohne Singularität; der Begriff limit-circle bezieht sich gezielt auf die Integrabilität des lokalen Lösungraums an einem singulären Endpunkt. ## Synthese Synthese Der limit-circle-Fall kennzeichnet Endpunkte, die eine Wahl von Randbedingungen erzwingen: Da jede lokale Lösung in L2 liegt, muss der Definitionsbereich durch explizite Randbedingungen eingeschränkt werden, um eine eindeutige selbstadjungierte Erweiterung zu erhalten.