## [Partition der Eins](/de/node/61287) Definition Eine Familie {φ_i} stetiger (oft glatter) Funktionen auf einem topologischen Raum, so dass in jedem Punkt nur endlich viele φ_i ungleich null sind (lokale Endlichkeit), der Träger jeder φ_i in einem Element einer gegebenen offenen Überdeckung liegt und die Summe über i der φ_i die konstante Funktion 1 auf dem Raum ergibt. ## Prinzip Prinzip Partitionen der Eins erlauben die Lokalisation globaler Probleme: sie subordinieren globale Konstruktionen einer offenen Überdeckung, wodurch sich lokale Daten kontrolliert zu global definierten Objekten verkleben lassen, mit Kontrolle über Träger und Regularität. ## Demonstration Demonstration Auf einer glatten Mannigfaltigkeit wählt man eine lokal endlich Verfeinerung der offenen Überdeckung und konstruiert nichtnegative bump-Funktionen, die in der Verfeinerung getragen sind und deren normalisierte Summe Eins ergibt; damit klebt man lokale Differentialformen zu einer globalen Form zusammen, die lokal mit den vorgegebenen Daten übereinstimmt. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Der Versuch, eine nicht-lokal endliche Funktionsfamilie zu verwenden, die Träger nicht in der vorgeschriebenen Überdeckung zu halten oder auf nicht-parakompakten Räumen die Existenz anzunehmen, führt zu ungültigen Konstruktionen. ## Konsequenz Konsequenz Man kann lokale Objekte zu globalen erweitern, Integrale durch Lokalisierung auf Karten definieren, glatte Partitionen der Eins zu beliebigen offenen Überdeckungen auf parakompakten Mannigfaltigkeiten konstruieren und lokal-zu-global Argumente in Analysis und Geometrie durchführen. ## Umkehrung Umkehrung Das Gegenteil wäre eine Überdeckung durch Indikatorfunktionen einer Mengenteilung (diskontinuierlich, nicht glatt), die kein glattes Verkleben erlaubt; die Umkehrung der Summe-gleich-Eins-Anforderung führt zu Zerlegungen, die für Fehlerauslöschung nützlich, aber nicht zur Lokalisierung auf die Eins geeignet sind. ## Abgrenzung Abgrenzung Existiert unter Parakompaktheitsvoraussetzungen für topologische und glatte Mannigfaltigkeiten; nicht jeder topologische Raum besitzt glatte Partitionen der Eins, und Partitionen werden typischerweise mit der der Kategorie entsprechenden Differenzierbarkeit konstruiert. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Oft besteht Verwechslung zwischen 'Partition der Eins' (glatt, summierend zu Eins) und kombinatorischen Partitionen einer Menge (disjunkte Indikatorfunktionen); die Spannung betrifft Glattheit und lokale Endlichkeit versus rein mengenmäßige Zerlegung. ## Synthese Synthese Eine Partition der Eins ist eine lokal endliche, nach Trägern kontrollierte Funktionsfamilie, die zu Eins summiert und lokale Konstruktionen durch gewichtetes Verkleben in globale Objekte überführt; sie steht unter Parakompaktheitsbedingungen zur Verfügung und ist an die gewünschte Regularitätsklasse anpassbar.