##  [Chebotarev-Dichtigkeitsatz](/de/node/61282) 

 Definition

Ein Satz der algebraischen Zahlentheorie, der die natürliche Dichte der rationalen Primzahlen bestimmt, deren Frobenius-Konjugationsklasse in der Galoisgruppe einer endlichen galoisschen Erweiterung zu einer vorgegebenen Konjugationsklasse gehört; die Dichte ist |C|/|G|, wobei C die Konjugationsklasse und G die Galoisgruppe ist.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Beim Durchlaufen der Primzahlen sind die Frobenius-Elemente äquidistribuiert über die Konjugationsklassen der Galoisgruppe, mit Häufigkeit proportional zur Klassengröße |C|/|G| bezüglich der natürlichen Dichte.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für eine quadratische Erweiterung K/Q mit Galoisgruppe der Ordnung 2 spalten Primzahlen oder bleiben träge entsprechend Frobenius = Identität oder dem nichttrivialen Element, sodass jede Spaltungsart natürliche Dichte 1/2 hat; bei zyklischen Erweiterungen stimmt der Anteil der Primzahlen mit Frobenius in einer gegebenen Klasse mit dem erwarteten Verhältnis überein.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Den Satz auf nicht-galoissche Erweiterungen anzuwenden, auf endliche Mengen von Primzahlen ohne Dichteschranke oder effektive Fehlerabschätzungen zu behaupten ohne passende analytische Voraussetzungen ist falsch.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Man kann Primzahlen mit vorgeschriebenem Zerlegungstyp zählen, statistische Eigenschaften von Primzahlen mit gruppentheoretischen Invarianten verbinden und viele klassische Verteilungen (einschließlich Dirichlets Satz) als Spezialfälle herleiten.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Statt Gruppeninformationen zur Vorhersage der Primverteilung zu verwenden, kann man aus beobachteten Zerlegungshäufigkeiten Rückschlüsse auf die Galoisgruppe ziehen; das Vorkommen bestimmter Zerlegungstypen gibt Hinweise auf Untergruppensysteme.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Voraussetzung ist eine endliche galoissche Erweiterung von Zahlkörpern und die Verwendung der natürlichen (Dirichletschen) Dichte von Primzahlen; der Satz liefert keine selbständigen effektiven Fehlerterme und muss für nicht-galoissche oder unendliche Erweiterungen angepasst werden.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Wird oft mit Dirichlets Satz über Primzahlen in arithmetischen Progressionen (ein Spezialfall) oder mit anderen Äquidistributionsaussagen verwechselt; die Spannung liegt zwischen der gruppentheoretischen und der rein analytischen Sicht der Primverteilung.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Chebotarev verknüpft die algebraische Struktur einer Galoisgruppe mit der asymptotischen Häufigkeit von Zerlegungstypen der Primzahlen und liefert die konkrete Proportionalitätsregel |C|/|G|, die Konjugationsdaten in analytische Dichtenaussagen übersetzt.