## [Lemma von Urysohn](/de/node/61254) Definition In einem normalen topologischen Raum X gibt es zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen A und B eine stetige Funktion f: X → [0,1] mit f|_A = 0 und f|_B = 1; dies konstruiert einen stetigen Trenner zwischen abgeschlossenen Mengen. ## Prinzip Prinzip Die Normalität (Trennbarkeit abgeschlossener Mengen durch disjunkte offene Umgebungen) erlaubt die Konstruktion stetiger Abbildungen, die auf disjunkten abgeschlossenen Mengen vorgegebene Werte annehmen und einen einfachen Partition-of-Unity-Effekt liefern. ## Demonstration Demonstration Im metrischen Fall definiert man f(x) = d(x,A)/(d(x,A)+d(x,B)), wobei d die Metrik ist; diese stetige Funktion nimmt den Wert 0 auf A und 1 auf B und demonstriert das Lemma von Urysohn im metrischen Kontext. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Der Versuch, eine solche Funktion in einem nicht-normalen Raum zu konstruieren, kann scheitern; nichtnormale Räume besitzen disjunkte abgeschlossene Mengen, die nicht durch eine stetige Funktion getrennt werden können. ## Konsequenz Konsequenz Das Lemma von Urysohn ist eine Grundlage für den Tietze-Erweiterungssatz und für Partitions of Unity: es liefert konkrete stetige Funktionen, die bei Einbettungs- und Erweiterungsargumenten in Topologie und Analysis genutzt werden. ## Umkehrung Umkehrung Wenn keine stetige Funktion zwei disjunkte abgeschlossene Mengen trennen kann, ist der Raum nicht normal; das Scheitern der Urysohn-Aussage ist ein Beleg für Nichtnormalität. ## Abgrenzung Abgrenzung Das Lemma setzt die Normalität des Raumes voraus (T1 plus Trennung abgeschlossener Mengen durch disjunkte Umgebungen); es gilt nicht nur unter der Hausdorff-Anforderung und nicht in beliebigen topologischen Räumen ohne zusätzliche Trennaxiome. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Das Lemma von Urysohn steht in Beziehung zu, aber ist schwächer als Erweiterungssätze: es erzeugt einen Trenner mit festen Randwerten, während Tietze die Fortsetzung beliebiger stetiger Funktionen von einem abgeschlossenen Teil auf den ganzen normalen Raum erlaubt. ## Synthese Synthese Das Lemma von Urysohn übersetzt die Trenn-Eigenschaft normaler Räume in die Existenz expliziter stetiger Interpolanten nach [0,1] und ist ein praktisches Werkzeug zum Trennen und Fortsetzen von Funktionen in der Topologie.