##  [Stone–Weierstrass-Theorem](/de/node/61250) 

 Definition

Eine Charakterisierung, die besagt, dass eine Teilalgebra A von C(X), den reellwertigen stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum X, dicht in der Einheitsnorm ist genau dann, wenn A die Konstanten enthält und die Punkte von X trennt (mit zusätzlicher *-Abgeschlossenheit im komplexen Fall).

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Algebraische Erzeugung unter punktweisen Operationen zusammen mit der Fähigkeit, Punkte zu trennen (und Konstanten zu enthalten), genügt, um jede stetige Funktion auf Kompakten gleichmäßig zu approximieren; die Topologie von X und algebraische Erzeuger bestimmen die Approximationskraft.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Weierstrass' klassischer Satz ist der Spezialfall auf einem Intervall: Polynome bilden eine Algebra auf [a,b], enthalten Konstanten und trennen Punkte, daher sind Polynome dicht in C([a,b]) bezüglich der Supremumsnorm; Stone verallgemeinert dieses Kriterium auf beliebige kompakte Hausdorff-Räume und Teilalgebren.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Annahme der Dichte, obwohl die Teilalgebra die Punkte nicht trennt, keine Konstanten enthält oder im komplexen Fall nicht unter komplexer Konjugation geschlossen ist; Annahme, der Satz gelte für nicht-kompakte Räume oder außerhalb des Kontextes der einheitlichen Norm.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Lieferte fundamentale Approximationsresultate: Polynome, trigonometrische Polynome und andere konkrete Algebren approximieren stetige Daten gleichmäßig, was spektrale Approximation, Funktionalkalkül und konstruktive Approximation in der Analyse ermöglicht.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Gelingen die Trennungs- oder Konstantenbedingungen nicht, so ist die Algebra nicht dicht und es existieren stetige Funktionen, die nicht gleichmäßig approximiert werden können; auch kann Nicht-Kompaktheit die Gleichmäßigkeitsapproximation ohne zusätzliche Bedingungen verhindern.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Erfordert einen kompakten Hausdorff-Raum als Definitionsbereich und die uniforme Supremumsnorm; Unterschiede bestehen zwischen reellen und komplexen Versionen (die letztere verlangt *-Invarianz), und der Satz lässt sich nicht ohne Weiteres auf nicht-kompakte oder nicht-Hausdorff-Räume übertragen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Verwandt mit anderen Approximationssätzen (Muntz, Runge, Korovkin) mit unterschiedlichen Hypothesen und Schlüssen; Spannung besteht zwischen algebraischen Erzeugerbedingungen und analytischen Approximationsanforderungen in verschiedenen Funktionsräumen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Stone–Weierstrass vereinigt und verallgemeinert polynomiale Approximation, indem es aussagt, dass eine Algebra stetiger Funktionen, die Konstanten enthält und Punkte trennt (im komplexen Fall *-invariant ist), auf einem kompakten Hausdorff-Raum gleichmäßig dicht ist und so algebraische Erzeugung mit analytischer Approximation verbindet.