##  [Invarianz des Gebiets](/de/node/61248) 

 Definition

Der topologische Satz, dass eine injektive stetige Abbildung zwischen offenen Teilmengen des euklidischen R^n ein offenes Einbettungsbild ist; insbesondere ist das Bild einer offenen Menge unter einer solchen Abbildung offen und die Abbildung ein Homöomorphismus auf ihr Bild.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Lokale euklidische Struktur zusammen mit Injektivität und Stetigkeit bewahren Offenheit und lokale Homöomorphieeigenschaften: Einbettungen können die Dimension nicht zusammenstauchen oder Bildgrenzen innerhalb des Bildes erzeugen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Ist U eine offene Kugel in R^n und f:U→R^n stetig und injektiv, so ist f(U) offen in R^n und f:U→f(U) ein Homöomorphismus; damit ist beispielsweise ausgeschlossen, dass eine injektive stetige Abbildung eine offene n-Kugel in einen niedrigerdimensionalen Unterraum abbildet.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Annahme, der Satz gelte für Injektionen zwischen Räumen unterschiedlicher Dimension, für nicht-injektive stetige Abbildungen oder in unendlich-dimensionalen topologischen Vektorräumen ohne zusätzliche Voraussetzungen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Folgt die lokale Invarianz der Dimension und verbietet pathologische Einbettungen euklidischer Gebiete in niedrigerdimensionale euklidische Räume; der Satz stützt viele Klassifikationsresultate in Topologie und Mannigfaltigkeitstheorie.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Lässt man die Injektivität weg, so können Bilder offener Mengen offenheit verlieren (Faltungen, Selbstüberschneidungen); ändert man Definitions- oder Zielraum auf nicht-euklidische oder unendlich-dimensionale Räume, können Offenheitsfolgen umgekehrt werden.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für stetige injektive Abbildungen zwischen offenen Teilmengen von R^n; nicht anwendbar auf allgemeine topologische Räume, nicht-injektive Abbildungen oder Einbettungen in Räume ohne lokale euklidische Struktur ohne zusätzliche Bedingungen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Verwandt mit der Invarianz der Dimension und Einbettungssätzen; Spannung entsteht beim Vergleich lokalen topologischen Verhaltens (Invarianz des Gebietes) mit globalen Mannigfaltigkeitseinbettungen oder mit Resultaten, die Differenzierbarkeit statt bloßer Stetigkeit verlangen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Invarianz des Gebiets besagt, dass stetige injektive Abbildungen zwischen euklidischen Gebieten Offenheit und lokale Homöomorphiestruktur bewahren und damit formalisiert wird, dass n-dimensionale euklidische Teilstücke ihre Dimension unter topologischen Einbettungen nicht verbergen oder verringern können.