##  [Borsuk–Ulam-Theorem](/de/node/61246) 

 Definition

Die Aussage, dass jede stetige Abbildung f von der n-Sphäre S^n in den euklidischen Raum R^n ein Paar antipodaler Punkte x und −x auf denselben Bildpunkt abbildet: f(x)=f(−x).

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Antipodale Symmetrie der Sphäre zusammen mit Stetigkeit erzwingt Bild-Koinzidenzen: Eine stetige Abbildung von einem symmetrischen kompakten Gebiet in einen Raum gleicher Dimension kann nicht alle antipodalen Paare trennen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für n=1 muss eine stetige Abbildung des Kreises S^1 in R ein Paar gegenüberliegender Punkte auf denselben reellen Wert abbilden; konkret liefert ein Zwischenwertargument gleiche Werte an Antipoden für geeignete Funktionen der Winkelkoordinate.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Annahme, der Satz gelte für unstetige Abbildungen, für Zielräume anderer Dimension oder für Domains, die keine Sphären sind; Anwendung zur Identifikation von Fixpunkten bei anderen Symmetrien ohne Überprüfung der Voraussetzungen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Erzeugt zahlreiche kombinatorische und geometrische Folgerungen (etwa ham-sandwich-artige Aufteilungen, Existenz übereinstimmender Messwerte) und verbindet sich mit Index- und Obstruktionstheorien in der Topologie.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Dreht man die Schlussfolgerung um, so zeigen Beispiele, dass Abbildungen von S^n nach R^{n−1} keine antipodalen Punkte zusammenführen müssen; das Senken der Ziel-Dimension beseitigt die erzwungene Koinzidenz, und das Weglassen der Stetigkeit bricht das Ergebnis vollständig.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Erfordert eine stetige Abbildung auf der n-Sphäre und einen euklidischen Zielraum gleicher Dimension; nicht anwendbar auf Abbildungen von anderen Mannigfaltigkeiten, auf Gleichzeitigkeiten unter anderen Gruppen ohne Anpassung oder auf nicht-euklidische Ziele ohne Neuformulierung.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Nahe an Fixpunkt- und Koexistenzsätzen, aber verschieden: Borsuk–Ulam fordert Antipoden-Koinzidenzen auf Sphären, Fixpunktsätze fordern x mit f(x)=x; Spannung besteht bei der Relation von Dimensionsbedingungen und Symmetrieanforderungen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Borsuk–Ulam-Theorem fasst zusammen, dass Stetigkeit und antipodale Symmetrie auf einer n-Sphäre erzwingen, dass mindestens ein antipodales Paar dasselbe Bild in R^n hat und damit starke topologische und kombinatorische Konsequenzen erzeugt, wenn Symmetrie und Dimension übereinstimmen.