##  [P-Adische Bewertung](/de/node/61242) 

 Definition

Eine Funktion v_p, die jeder von Null verschiedenen ganzen Zahl n den Exponenten des festen Primzahl p zuordnet, der n teilt; sie wird auf rationale Zahlen durch v_p(a/b)=v_p(a)−v_p(b) und weiter auf Körper und Bewertungsringe erweitert, um p-adische Teilbarkeit zu messen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die Multiplikativität der p-Multiplikität erfassen, so dass v_p(xy)=v_p(x)+v_p(y) und v_p(x+y)≥min(v_p(x),v_p(y)) gilt; dies liefert eine nicht-archimedische Bewertung und die ultrametrische Dreiecksungleichung.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für p=2 gilt v_2(40)=3, denn 40=5·2^3; für die rationale Zahl 3/8 ist v_2(3/8)=v_2(3)−v_2(8)=0−3=−3, und der zugehörige p-adische Betrag ist |3/8|_2=2^{3}.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

v_p fälschlich als archimedische Größe benutzen, die die gewöhnliche Dreiecksungleichung erfüllt, oder ohne Prüfung auf Auslöschung annehmen, v_p(x+y)=min zu sein.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Richtig angewandt liefert v_p eine nicht-archimedische Metrik und die Komplettierung Q_p mit charakteristischen analytischen und algebraischen Eigenschaften; sie ist zentral für lokale-globale Prinzipien und Verzweigung in der Zahlentheorie.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Tauscht man die p-adische Bewertung gegen den gewöhnlichen Betrag, so verschwindet die ultrametrische Struktur und die Exponenten kodieren keine Teilbarkeit mehr.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert für nichtnull Elemente der ganzen Zahlen, der rationalen Zahlen und erweiterbar auf Körper/ Bewertungsringe; gilt nicht für unendliche (archimedische) Stellen und muss für Bewertungen höheren Rangs oder nicht-diskrete Bewertungsgruppen modifiziert werden.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Eng verwandt mit dem p-adischen Betrag und mit Bewertungen in der algebraischen Geometrie; Spannung entsteht zwischen der diskreten v_p auf Q und allgemeineren Bewertungen, die weitere Rangstrukturen speichern.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die p-adische Bewertung ist das diskrete, multiplikative Maß dafür, wie stark ein Element durch ein fixes Prim p teilbar ist; sie kodiert Exponenten der Teilbarkeit, induziert eine nicht-archimedische Norm und strukturiert lokale arithmetische und topologische Phänomene.