##  [Nullmenge](/de/node/61229) 

 Definition

Teilmenge eines Maßraums, deren Maß bezüglich des gegebenen Maßes Null ist; solche Mengen sind für Integration und für Aussagen "fast überall" vernachlässigbar, da sie zu Integralen nicht beitragen und in maßtheoretischen Eigenschaften weggelassen werden können.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Eigenschaften, die außerhalb einer Nullmenge gelten, gelten 'fast überall'; Nullmengen lassen sich durch Mengen beliebig kleiner Gesamtmaßdecken überdecken, daher ändert das Abändern einer Funktion auf einer Nullmenge nicht ihre Integrale oder ihre Äquivalenzklasse in L^p-Räumen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Auf der reellen Linie mit Lebesgue-Maß ist die Menge der rationalen Zahlen eine Nullmenge (abzählbar), die Cantor-Menge hat Lebesgue-Maß null, obwohl sie überabzählbar ist, und jedes Einzelpunkt in R^n hat Maß null.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anzunehmen, eine Nullmenge sei topologisch klein (z. B. notwendigerweise mager oder leer), nichtmessbare Mengen ohne Prüfung der Messbarkeit als Nullmengen zu behandeln oder zu glauben, dass punktweise Werte auf einer Nullmenge in allen Kontexten irrelevant seien.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Nullmengen sind Grundlage der Fast-Überall-Notion in Integration, Differentiation a.e. und Konvergenzsätzen: Funktionen, die nur auf einer Nullmenge differieren, sind in L^p identifiziert, und viele Sätze erlauben Ausnahmen auf Nullmengen ohne die Schlussfolgerung zu ändern.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Gegenteil ist eine Menge vollen Maßes (Komplement einer Nullmenge); aussagen, die auf einer Menge vollen Maßes scheitern, zeigen ein wesentliches Versagen an, im Gegensatz zu Fehlern, die auf Nullmengen beschränkt sind und in der Maßtheorie oft vernachlässigt werden.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Nullmengen sind relativ zu einem bestimmten Maß definiert; eine Menge kann für ein Maß null und für ein anderes maßvoll sein. Nichtmessbare Mengen sind nicht als Nullmengen klassifizierbar. Das Konzept gilt innerhalb von Maßräumen, nicht in rein topologischen Kontexten ohne Maß.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen maßtheoretischem 'Null' und kategorialem 'mager': Eine Menge kann null sein, aber topologisch groß (dicht) oder sogar restlich (comeager) und doch Maß null; Maß und Kategorie drücken unterschiedliche Formen der Vernachlässigbarkeit aus.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine Nullmenge ist eine maßabhängige vernachlässigbare Teilmenge: lässt sie sich durch Mengen beliebig kleinen Gesamtmaßes überdecken, so sind darauf beschränkte Ausnahmen für Integration und fast-überall-Eigenschaften vernachlässigbar, die Klassifikation hängt jedoch stets von Messbarkeit und dem zugrundeliegenden Maß ab.