##  [Wegzusammenhängender Raum](/de/node/61212) 

 Definition

Ein topologischer Raum, in dem je zwei Punkte durch einen stetigen Weg verbunden werden können (eine stetige Abbildung vom Einheitsintervall [0,1] in den Raum mit gegebenen Endpunkten).

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Verstärkte Form der Zusammenhangseigenschaft: es existieren stetige, parametrisierte Bögen, die beliebige Punktpaare verbinden und damit explizite Pfade liefern.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Der euklidische Raum R^n ist wegzusammenhängend, da zwei Punkte durch das Gerade‑Segment t ↦ (1−t)x + t y verbunden werden können, einen stetigen Weg in R^n.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu behaupten, Wegzusammenhang impliziere einfache Zusammenhang oder dass Bildmengen von Wegen offen seien; Wegzusammenhang sagt nichts über Schleifenauflösung oder lokale Offenheit von Wegbildern aus.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Wegkomponenten partitionieren den Raum in maximale wegzusammenhängende Teilmengen; in lokal wegzusammenhängenden Räumen sind diese Komponenten offen und Wegzusammenhang impliziert Zusammenhang, was für algebraische Topologie nützlich ist.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein Raum kann zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend sein (z. B. die Topologist's Sine Curve), d. h. es gibt Punktpaare ohne stetigen verbindenden Weg trotz fehlender Trennung in offene Teilmengen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Beruht auf stetigen Abbildungen von [0,1]; stärker als bloßer Zusammenhang und verschieden von höheren Homotopie‑ oder Homologieeigenschaften; lokale Wegzusammenhängigkeit oder Mannigfaltigkeitsstrukturen ändern die Folgerungen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zum Zusammenhang: Zusammenhang verbietet Trennung in disjunkte offene Mengen, verlangt jedoch keine Wege zwischen Punkten; Wegzusammenhang fordert diese stetigen Verknüpfungen und ist allgemein stärker.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Wegzusammenhang verlangt für jedes Punktpaar einen stetigen Weg, wodurch Wegkomponenten die zusammenhängenden Komponenten verfeinern und konstruktive Homotopieargumente ermöglichen, ohne identisch mit stärkeren Homotopieeigenschaften zu sein.