## [Primärzerlegung](/de/node/61180) Definition Die Darstellung eines Ideals (oder Untermoduls) in einem noetherschen Ring als endlichen Schnitt primärer Ideale (oder primärer Untermodule), wobei jedes einen Radical hat, der ein Primideal ist; assoziierte Primideale erscheinen als Radikale der primären Komponenten. ## Prinzip Prinzip Ein Ideal in Komponenten zerlegen, deren Radikale Primideale sind: Q ist p-primär, wenn rad(Q)=p und jeder Nullteiler im Quotienten nilpotent ist. Eine Primärzerlegung drückt das Ideal als Schnitt solcher Q_i aus und erfasst die lokale Struktur an den Primidealen. ## Demonstration Demonstration In den ganzen Zahlen Z gilt (12) = (4) ∩ (3): (4) ist 2-primär (Radikal (2)) und (3) ist 3-primär (Radikal (3)). Dieser Schnitt reflektiert die Faktorisierung 12 = 2^2·3 und isoliert das primäre Verhalten bei den Primzahlen 2 und 3. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Annahme, primäre Komponenten seien in voller Allgemeinheit eindeutig; zwar sind minimale primäre Komponenten und ihre assoziierten Primideale bis auf Inklusion eindeutig, doch eingebettete Komponenten erschweren die Eindeutigkeitsaussagen. Auch die Verwechslung von primär mit prim ist verbreitet. ## Konsequenz Konsequenz Primärzerlegung offenbart die prime-assoziierten lokalen Stücke eines Ideals, wichtig zur Berechnung von Radikalen, Vielfachheiten, lokalen Eigenschaften und für algorithmische Zerlegungen in der Rechenalgebra unter Noetherschen Voraussetzungen. ## Umkehrung Umkehrung Die Umkehrung besteht darin, Radikale der Komponenten zu nehmen, um eine Primzerlegung zu erhalten: Durch Übergang von der Primärzerlegung zur Radikalenzerlegung geht nilpotente und Vielfachheitsinformation verloren. ## Abgrenzung Abgrenzung Existenz und Endlichkeit von Primärzerlegungen sind in noetherschen Ringen gesichert; in nicht-noetherschen Kontexten können Zerlegungen fehlen oder unendlich sein. Eingebettete Komponenten erschweren Eindeutigkeitsaussagen und erfordern Vorsicht. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Nahe verwandt, aber unterschiedlich zur Primzerlegung: die Primzerlegung (Schnitt von Primidealen) ignoriert nilpotente Struktur, die von primären Komponenten erfasst wird. Primärzerlegung vermittelt zwischen Erzeugerbeschreibung und radikalbasierter Priminformation. ## Synthese Synthese Primärzerlegung teilt ein Ideal in endliche primäre Bestandteile, deren Radikale Primideale sind, und trennt dadurch nilpotentes und lokal-primes Verhalten; in noetherschen Ringen ordnet sie ein Ideal nach assoziierten Primidealen und primären Stücken, die Vielfachheiten und lokale Struktur kodieren.