## [Jordan–Chevalley-Zerlegung](/de/node/61178) Definition Die eindeutige Darstellung eines linearen Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums (über einem Körper, auf dem das Minimalpolynom zerfällt und separabel ist) als Summe eines semisimpeln (diagonalisierbaren) Endomorphismus und eines nilpotenten Endomorphismus, die miteinander kommutieren. ## Prinzip Prinzip Das Minimalpolynom in teilerfremde Faktoren für die semisimple und die nilpotente Komponente zerlegen; den semisimplen Teil als Polynom des Endomorphismus konstruieren, das auf den diagonalisierbaren Faktor projiziert, und den nilpotenten Teil als Rest definieren, so dass Kommutativität und Eindeutigkeit gesichert sind. ## Demonstration Demonstration Für eine Matrix A über einem algebraisch abgeschlossenen Körper konjugiert man A in die Jordan-Normalform J = D + N, wobei D blockdiagonal mit Eigenwerten auf der Diagonale (semisimpel) und N strikt blockobere Dreiecksmatrix (nilpotent) ist. Dann gilt A = S + N mit S zu D ähnlich und [S,N]=0. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Annehmen, die Zerlegung existiere über einem beliebigen Grundkörper, ohne zu prüfen, dass das Minimalpolynom zerfällt und separabel ist; oder die Jordan–Chevalley-Zerlegung mit einer basisabhängigen Jordanform verwechseln. ## Konsequenz Konsequenz Ermöglicht eine intrinsische Trennung des diagonalisierbaren und des nilpotenten Anteils eines Operators, vereinfacht die Berechnung von Operatorfunktionen (Exponential, Polynome) und erleichtert Fragen in Darstellungstheorie und der Wirkung algebraischer Gruppen. ## Umkehrung Umkehrung Das Gegenteil wäre, semisimple und nilpotente Anteile zu vermischen, z. B. durch Bildung des Radikals oder des semisimplen Quotienten statt einer additiven Zerlegung; dabei ginge die kommutative Struktur verloren, die die Zerlegung bewahrt. ## Abgrenzung Abgrenzung Setzt voraus, dass das Minimalpolynom zerfällt und separabel ist, bzw. einen perfekten Grundkörper (z. B. Charakteristik 0 oder endliche Körper). Über unvollkommenen Körpern oder ohne Zerfall muss man ggf. in eine Körpererweiterung übergehen oder eine multiplicative Variante für algebraische Gruppen verwenden. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Wird oft mit der Jordan-Normalform verwechselt: diese ist basisabhängig und gibt Blockstruktur an, während die Jordan–Chevalley-Zerlegung eine basisunabhängige Aufspaltung des Operators in kommutierende semisimple und nilpotente Anteile darstellt, sofern die Voraussetzungen erfüllt sind. ## Synthese Synthese Die Jordan–Chevalley-Zerlegung ist die kanonische, basisunabhängige Zerlegung eines Endomorphismus in kommutierende semisimple und nilpotente Summanden, gewonnen durch Zerlegung des Minimalpolynoms und Trennung von diagonalisierbarem und nilpotentem Verhalten.