##  [Smith-Normalform](/de/node/61172) 

 Definition

Eine kanonische diagonale Form für eine ganze (oder allgemein über einem PID definierte) Matrix, erreicht durch links- und rechtsseitige Multiplikation mit unimodularen Matrizen: Es gibt U, V unimodular über Z mit U A V = diag(d1,d2,...,dr,0,...), wobei jedes di das nächste teilt; die Diagonaleinträge sind die Invarianten des assoziierten Moduls.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Erlaubte Operationen sind ganzzahlige elementare Zeilen- und Spaltenoperationen, entsprechend der Multiplikation von links und rechts mit invertierbaren Integralmatrizen; diese Operationen klassifizieren endlich erzeugte Moduln über einem Hauptidealring, indem Präsentationsmatrizen in diagonale Form mit Teilbarkeitsbedingungen überführt werden.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für eine 2×2-Ganzzahlmatrix A führt man ganze Zeilen- und Spaltenoperationen (Vielfaches einer Zeile zur anderen addieren, vertauschen, mit ±1 multiplizieren) durch, um A in diag(d1,d2) mit d1|d2 zu bringen; die Diagonaleinträge bestimmen Z^2 / im(A) als direkte Summe zyklischer Gruppen der Ordnungen d1 und d2 (bis auf Einheiten).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Smith-Normalform so zu behandeln, als könne man sie durch Rechnen über den Realkörper erhalten, liefert falsche Invarianten; ein weiterer Fehler ist, zu übersehen, dass die Diagonaleinträge nur bis auf Multiplikation mit Einheiten (±1) eindeutig sind und dass eine ähnliche Diagonalisierung über Nicht-PID-Ringen nicht existiert.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Erzeugt Invariantfaktoren, die endlich erzeugte Moduln über Z klassifizieren (z. B. endlich erzeugte abelsche Gruppen), ermöglicht das Lösen linearer diophantischer Gleichungen und das Berechnen elementarer Teiler und der Torsionsstruktur der Kokerne ganzzahliger Matrizen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Über einem Körper ist die analoge Vereinfachung die Reduktion in Zeilenstufen- oder rationale/Jordan-Form; die Umkehrung der Smith-Form würde bedeuten, die nicht-diagonalen Kopplungen durch Rückgängigmachen unimodularer Transformationen wiederherzustellen und damit die ursprünglichen Relationen zwischen Erzeugern zu rekonstruieren.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Konstruiert über Z und allgemein über Hauptidealringen; sie existiert nicht im Allgemeinen über beliebigen kommutativen Ringen ohne PID-Struktur und lässt sich nicht nur mit Operationen über Körpern herstellen, weil die Teilbarkeitsstruktur in Z wesentlich ist.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Steht im Verhältnis zur Hermite-Normalform, die nur einseitige unimodulare Operationen verwendet und eine Dreiecksform liefert; die Smith-Form liefert eine vollständige Diagonalisierung mit Teilbarkeitsbedingungen und ist somit stärker zur Klassifikation von Moduln, während Hermite oft leichter zu berechnen, aber weniger informativ ist.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine kanonische diagonale Form U A V mit unimodularen U,V, die Invarianten offenlegt (jede Diagonale teilt die nächste) und so einen diskreten algebraischen Fingerabdruck einer ganzzahligen Matrix liefert, der assoziierte Moduln klassifiziert und ganzzahlige lineare Probleme löst.