##  [Singulärwertzerlegung](/de/node/61170) 

 Definition

Eine Faktorisierung einer m×n-Matrix A (reell oder komplex) als A = U Σ V*, wobei U und V unitär (im reellen Fall orthonormiert) sind und Σ eine diagonale (rechteckige) Matrix mit nichtnegativen reellen Einträgen, den Singulärwerten, ist; sie beschreibt die Wirkung von A auf orthogonale Richtungen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Diagonalisiere die positive semidefinite Matrix A* A, um orthonormale rechte Singulärvektoren und nichtnegative Singulärwerte zu erhalten (Wurzeln der Eigenwerte von A* A); linke Singulärvektoren erhält man durch Anwenden von A auf rechte Singulärvektoren und Normierung.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für eine 2×2-Matrix A berechne A* A, bestimme Eigenpaare (v_i, λ_i), setze σ_i = √λ_i, bilde V aus den Spalten v_i und bestimme U = A V Σ^−1 für die von null verschiedenen Singulärwerte; das Abschneiden kleiner σ_i ergibt eine optimale Niedrigrangapproximation.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Annahme, U, Σ, V seien eindeutig, übersieht Vorzeichen- und Ordnungsambiguitäten bei Singulärvektoren und bei mehrfachen Singulärwerten; die SVD unkritisch auf nichtlineare Probleme anzuwenden oder kleine Singulärwerte ohne Fehleranalyse als numerische Nullen zu behandeln, ist irreführend.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Liefernt kanonische orthonormale Basen von Definitions- und Wertebereich, begründet optimale Niedrigrangapproximationen, stabile Pseudoinverse-Berechnung, Konditionsanalyse und viele datenanalytische Verfahren (Hauptkomponentenanalyse, latente Faktor-Modelle).

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Eigenwertzerlegung von A selbst ist eine alternative Idee, die aber nur für normale Matrizen anwendbar ist; auf die SVD zu verzichten heißt, die orthogonale Zerlegung und die direkte Geometrie der Streckung entlang orthogonaler Achsen zu verlieren.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Existiert für jede endliche Matrix über R oder C; im unendlichdimensionalen Kontext erfordert ein Analogon kompakte Operatoren und zusätzliche funktionalanalytische Voraussetzungen; die SVD ist linear-algebraisch und verallgemeinert nicht unmittelbar auf nichtlineare Abbildungen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Steht im Spannungsfeld zur Eigenwertzerlegung bei quadratischen, normalen Matrizen: SVD existiert immer und liefert singuläre Richtungen auch wenn die Eigenzerlegung versagt oder nicht orthogonal ist, während die Eigenzerlegung spektrumsspezifische algebraische Informationen liefert, die SVD nicht direkt darstellt.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine universelle orthogonale Zerlegung A = U Σ V*, die die Größen und Richtungen offenlegt, nach denen A orthogonale Eingaberichtungen streckt; zentral für optimale Approximationen, Pseudoinverse und numerische Analyse des Konditionierens.