## [Existenz-Eigenschaft](/de/node/60954) Definition Eine konstruktive metatheoretische Eigenschaft, die besagt, dass, wenn ein System eine Existenzbehauptung ∃x φ(x) beweist, es ein konkretes Term t in der Sprache gibt, so dass das System φ(t) beweist; Existenzbeweise liefern demnach explizite Zeugen. ## Prinzip Prinzip Konstruktive Existenz verlangt ein syntaktisches Zeugnis: Ein Existenzbeweis muss einen Term oder eine Konstruktion t erzeugen, die das behauptete Objekt zeigt, und darf nicht lediglich zeigen, dass dessen Nicht-Existenz zu einem Widerspruch führt. ## Demonstration Demonstration In konstruktiver Arithmetik oder in einer abhängigen Typentheorie wird ein Beweis von ∃x φ(x) durch ein Paar (t, p) repräsentiert, wobei t ein Term und p ein Beweis von φ(t) ist; etwa liefert ein konstruktiver Beweis, dass es eine gerade Zahl größer als 2 gibt, eine Numeral n und eine Ableitung, die 'n ist gerade und n>2' beweist. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Klassische Existenzbeweise, die auf nicht-konstruktiven Prinzipien beruhen, als zeugnisliefernd zu behandeln; oder anzunehmen, die Eigenschaft gelte in beliebigen formalen Systemen ungeachtet ihrer Axiome und Regeln. ## Konsequenz Konsequenz Die Existenz-Eigenschaft erlaubt die Extraktion von berechenbarem Inhalt und Zeugen aus Beweisen, stützt Programmsynthese aus Beweisen und stärkt die konstruktive Auffassung von Theorien, indem sie sicherstellt, dass existenzielle Behauptungen konkrete Objekte in der Sprache der Theorie widerspiegeln. ## Umkehrung Umkehrung Fehlt die Existenz-Eigenschaft, so kann ein System ∃x φ(x) beweisen, ohne für irgendeinen geschlossenen Term t φ(t zu beweisen; Existenzbehauptungen sind dann nicht-konstruktiv und innerhalb der Theorie zeugnislos. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für Beweisbarkeit in konstruktiven oder entsprechend eingeschränkten Systemen und hängt von der Ausdrucksfähigkeit der Termsprache ab; sie gilt nicht allgemein für klassische Theorien, außer diese werden durch zeugnisproduzierende Prinzipien erweitert oder konservativ übersetzt. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zur nicht-konstruktiven Existenz, die mittels klassischer Logik oder Kompaktheitsargumenten gewonnen wird: Solche nicht-konstruktiven Beweise behaupten Existenz ohne Termzeugnis und widersprechen damit der Existenz-Eigenschaft. ## Synthese Synthese Die Existenz-Eigenschaft formt die konstruktive Forderung, dass existenzielle Beweise informativ sein müssen: Beweist das System eine Existenzbehauptung, so muss es innerhalb der Sprache des Systems einen Term benennen, der die Behauptung bezeugt und damit die direkte Extraktion des behaupteten Objekts ermöglicht.