##  [Disjunktionselimination](/de/node/60938) 

 Definition

Eine Schlussregel (Fallunterscheidung), die es erlaubt, C aus A ∨ B abzuleiten zusammen mit einem Beweis von C unter Annahme A und einem Beweis von C unter Annahme B. Formal: aus A ∨ B, [A ⇒ C], [B ⇒ C] folgere C.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Wenn eine Schlussfolgerung aus jedem Disjunkt separat folgt und mindestens ein Disjunkt gilt, dann gilt die Schlussfolgerung bedingungsfrei; die Disjunktionselimination überträgt fallweise Konsequenzen auf eine globale Konsequenz.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Gegeben A ∨ B, nehme A an und leite C ab; nehme B an und leite C ab; entlasse dann die Annahmen und schließe C. Beispiel: Aus ‚Es ist sonnig ∨ es ist bewölkt‘ und Beweisen ‚wenn sonnig dann Picknick‘ und ‚wenn bewölkt dann Picknick‘ folgere ‚Picknick‘.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anwenden der Disjunktionselimination ohne gültige separate Herleitungen für jeden Disjunkt, oder Verwendung bei einer unendlichen bzw. schlecht gebildeten Disjunktion ohne zu zeigen, dass alle Fälle abgedeckt sind; auch missbräuchliche Ableitung fall-spezifischer Informationen, die nicht für alle Fälle gelten.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht formales Fall-Argumentieren und das Eliminieren von Alternativen, sobald eine gemeinsame Konsequenz gezeigt wurde; zentral für strukturierte Beweise, Pattern Matching in Programmen und Taktiken in Theoremprovern.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Gegensatz zur Disjunktionseinführung: diese erzeugt aus einer Tatsache eine Disjunktion, während Elimination eine Disjunktion in eine einzige Konsequenz auflöst; eine falsche Umkehr würde versuchen, Disjunkte aus der globalen Konsequenz ohne Begründung abzuleiten.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt in klassischen und intuitionistischen Beweissystemen; in konstruktiven Settings müssen explizite Konstruktionen für die Herleitungen aus jedem Disjunkt vorgelegt werden, und in Logiken mit unendlich vielen Disjunkten oder nicht-exklusiven Alternativen ist zusätzliche Sorgfalt erforderlich, die Vollständigkeit der Fälle sicherzustellen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zeigt sich zwischen Disjunktionselimination und nicht-deterministischen oder probabilistischen Interpretationen der Disjunktion: Fallbeweise verlangen Abdeckung aller logischen Alternativen, andere Deutungen sehen die Disjunktion eher als vorläufige oder unsichere Wahl.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Disjunktionselimination ist die Regel, die eine beweisbare Alternative in eine einzige Schlussfolgerung überführt, indem gezeigt wird, dass jeder mögliche Fall diese Schlussfolgerung impliziert; sie operationalisiert das Fall-Argument und ist unverzichtbar, um Fallanalysen zu unbedingten Ergebnissen zusammenzuführen.