##  [Idempotenzgesetz](/de/node/60926) 

 Definition

Das Gesetz, dass die Anwendung desselben idempotenten Operators auf identische Operanden das Operanden selbst ergibt: Für einen idempotenten Operator ⊗ gilt A ⊗ A = A (Beispiele: A ∧ A = A, A ∨ A = A; ebenso S ∪ S = S in der Mengenlehre).

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die Wiederholung eines Operanden unter demselben idempotenten Operator hat keinen zusätzlichen Effekt gegenüber einem einzelnen Vorkommen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In der Mengenlehre ist die Vereinigung einer Menge mit sich selbst die Menge: S ∪ S = S. In der Booleschen Algebra ändert das Wiederholen von A unter ∧ oder ∨ den Wahrheitswert nicht im Vergleich zu A allein.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Nicht-idempotente Operationen als idempotent anzunehmen — beispielsweise numerische Addition mit der Annahme A + A = A — führt zu falschen Vereinfachungen und Informationsverlust.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Erlaubt das Entfernen doppelt auftauchender Literale in logischen Ausdrücken, reduziert Redundanz in Formeln und Schaltungen und unterstützt kanonische Formen, in denen Duplikate zusammengefallen werden.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Nicht-Idempotenz: Operationen, bei denen Wiederholung das Ergebnis ändert (z. B. numerische Addition A + A = 2A oder logisches XOR A ⊕ A = 0, was nicht gleich A ist).

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt nur für Operatoren, die in der betrachteten Algebra als idempotent bewiesen sind; Idempotenz ist operator- und kontextspezifisch und gilt nicht ohne weiteres für zusammengesetzte oder gemischte Operatoren.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zur multiplikativen Intuition — Idempotenz kollabiert Wiederholung, während viele algebraische Systeme Vielfachheit oder Häufigkeit bewahren; infosichernde Systeme lehnen daher oft Idempotenz ab.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Idempotenzgesetz signalisiert, wann die Duplizierung desselben Operanden unter einem bestimmten Operator semantisch redundant ist, ermöglicht das Entfernen von Duplikaten und kompaktere Darstellungen und unterscheidet gleichzeitig Kontexte, die Vielfachheit bewahren.