## [Deduktives System](/de/node/60833) Definition Ein formaler Apparat, der aus einer formalen Sprache sowie einer Menge von Axiomen (oder Axiomenschemata) und Inferenzregeln besteht, die bestimmen, welche Folgen von Formeln als gültige Herleitungen von Prämissen zu Konklusionen gelten. ## Prinzip Prinzip Primitive Wahrheiten und zulässige Transformationsschritte festlegen, sodass Ableitbarkeit mechanisch prüfbar ist und beabsichtigte semantische Eigenschaften wie Korrektheit und Vollständigkeit gegenüber einer Semantik erhält. ## Demonstration Demonstration Ein Hilbert-Stil Deduktionssystem für die Aussagenlogik kann Axiomenschemata und den Modus Ponens als einzige Regel haben; mit Axiomen und ihren Instanzen lassen sich Theoreme durch wiederholte Anwendung von Modus Ponens ableiten. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Inference-Regeln zu mischen, ohne Variable-Capture oder Nebenbedingungen zu beachten — z. B. universelle Instanziierung auf eine Formel anzuwenden, in der die Variable anders gebunden ist — führt zu ungültigen Herleitungen und unsounden Beweisen. ## Konsequenz Konsequenz Ein wohldefiniertes deduktives System macht Beweisbarkeit präzise, erlaubt Beweissuche und Mechanisierung und stützt metatheoretische Aussagen (z. B. Konsistenz, Entscheidbarkeit, Vollständigkeit) im Vergleich zur Semantik. ## Umkehrung Umkehrung Die umgekehrte Sicht betont nur semantische Konsequenz (Modelle und Folgerung) und behandelt Regeln und Axiome als sekundäre Artefakte statt als primäre Definition von Konsequenz. ## Abgrenzung Abgrenzung Bezieht sich auf formale Systeme mit expliziten syntaktischen Regeln; schließt informelle Argumentation, empirische Inferenz oder rein modelltheoretische Konsequenzbegriffe aus, die syntaktische Herleitungen weglassen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen beweistheoretischer Definition von Konsequenz (Ableitbarkeit innerhalb eines Systems) und semantischer Definition (Folgerung über alle Modelle); Korrektheits- und Vollständigkeitssätze sind nötig, um sie in Einklang zu bringen. ## Synthese Synthese Ein deduktives System ist die syntaktische Maschine zur Erzeugung formaler Beweise: Axiome liefern Ausgangsformeln und Inferenzregeln erlaubte Schritte, die zusammen die Relation der Ableitbarkeit in einer Logik definieren.