##  [Herbrand-Universum](/de/node/60822) 

 Definition

Die Menge aller ground (variablenfreien) Terme, die aus den Konstanten- und Funktionssymbolen einer prädikatenlogischen Sprache gebildet werden können.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Man bildet die kleinste Termalgebra, die unter den Konstanten und Funktionssymbolen der Signatur abgeschlossen ist; Variablen sind ausgeschlossen, sodass wiederholte Anwendung von Funktionen auf bereits gebildete ground-Terme die Menge erzeugt.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für eine Signatur mit Konstante a und einer einstelligen Funktion f ist das Herbrand-Universum {a, f(a), f(f(a)), ...}, häufig unendlich, durch wiederholte Anwendung von f auf a erzeugt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Das Herbrand-Universum fälschlich als semantische Domäne mit interpretierten Objekten zu behandeln oder es als endlich anzunehmen, obwohl die Signatur Funktionssymbole hat, die unendlich viele Terme erzeugen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Stellt eine rein syntaktische Domäne für die Konstruktion grounder Instanzen von Formeln bereit und bildet die Grundlage für Herbrand-Interpretationen und -Modelle in der automatischen Theorembeweisung und Logikprogrammierung.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Statt der ground-Term-Abschließung betrachtet man die Menge nicht-groundlicher Terme (mit Variablen) oder eine interpretierte Domäne mit semantischen Elementen — der Fokus verlagert sich von syntaktischer Termbildung zu semantischer Interpretation.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Enthält nur ground-Terme, die aus Konstanten und Funktionen der Sprache gebildet werden; schließt Variablen, Prädikatsymbole, Metaterme und externe Symbole aus und legt an sich keine Wahrheitswerte fest.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen dem Herbrand-Universum als rein syntaktischer Termalgebra und dem modelltheoretischen Begriff einer Domäne: Beides wird als 'Domäne' bezeichnet, bedeutet aber Verschiedenes.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Herbrand-Universum ist die syntaktische Welt der ground-Terme, erzeugt aus den Konstanten und Funktionen einer Signatur; es dient dazu, Formeln zu grounden, die Herbrand-Basis zu bilden und syntaktische Beweistechniken mit modelltheoretischem Denken zu verknüpfen.