##  [Variationsungleichung](/de/node/60712) 

 Definition

Eine mathematische Formulierung, die ein Element u in einer zulässigen Menge K sucht, sodass ein variationaler Operator A die Ungleichung ⟨A(u), v - u⟩ ≥ 0 für alle v in K erfüllt; sie drückt Gleichgewichts- oder beschränkte Extremalprobleme als Ungleichungen statt Gleichungen aus.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Das ordnende Prinzip ist, Zwänge und Gleichgewichtsbedingungen direkt in einem Ungleichungsrahmen zu kodieren, indem monotone oder koerzive Operatoren auf konvexen zulässigen Mengen verwendet werden; dies verallgemeinert Euler–Lagrange-Bedingungen auf Ungleichungsnebenbedingungen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Das Hindernisproblem: Bestimmung der Gleichgewichtsform einer elastischen Membran, die über einem gegebenen Hindernis liegen muss; Kontaktmechanik und Komplementaritätsformulierungen für reibungsfreie Kontaktprobleme sind kanonische Anwendungen von Variationsungleichungen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Eine Variationsungleichungsformulierung zu erzwingen, wenn die zulässige Menge nicht konvex ist oder der Operator nicht monoton ohne passende Existenztheorie, kann zu Nicht-Existenz oder irreführenden Lösungen führen; ebenso ist die Fehlinterpretation von Komplementaritätsbedingungen als unbegrenzte Euler-Gleichungen falsch.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Unter Monotonie- und Koerzivitätsannahmen liefern Variationsungleichungen Existenz- und oft Eindeutigkeitsresultate und bilden die Grundlage für stabile numerische Verfahren (Finite-Element-Ungleichungslöser, Active-Set-Algorithmen) für beschränkte Gleichgewichtsprobleme.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Gegenteil ist das unbeschränkte variationale (Gleichungs-)Problem, charakterisiert durch Euler–Lagrange-Gleichungen; das Entfernen von Ungleichungsnebenbedingungen wandelt das Problem in eine Standard-Variationsgleichung, falls die Zulässigkeit unbeschränkt ist.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Anwendbar in reflexiven Banach- oder Hilberträumen mit konvexen zulässigen Mengen und Operatoren, die Monotonie/Koerzivität erfüllen; schließt viele nichtkonvexe Beschränkungsprobleme, sehr unscharfe Operatoren und bestimmte diskontinuierliche Kontaktgesetze ohne spezialisierte Erweiterungen aus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen Variationsungleichungen und verwandten Formulierungen wie Komplementaritätsproblemen oder beschränkter Optimierung mit Lagrange-Multiplikatoren: Überschneidungen bestehen, jedoch unterscheiden sie sich in Betonung (Ungleichungsform vs Multiplikator/Gleichungsform) und passenden analytischen/numerischen Mitteln.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Variationsungleichungen verallgemeinern variationale Methoden zur Durchsetzung von Ungleichungsnebenbedingungen und bieten einen einheitlichen Rahmen für Gleichgewichts-, Kontakt- und Komplementaritätsprobleme durch Formulierung monotoner Operatorungleichungen auf zulässigen Mengen sowie eine robuste Existenztheorie und geeignete numerische Verfahren.