## [Wiener–Khinchin-Theorem](/de/node/60633) Definition Ein Satz, der besagt, dass bei einem stationären Prozess im weiten Sinn die Leistungsdichtespektrums (PSD) die Fourier-Transformation seiner Autokorrelationsfunktion ist, sodass zeitliche und spektrale Zweitordnungsstatistiken Fourier-Paare bilden. ## Prinzip Prinzip Die Stationarität der zweitordentlichen Momente bewirkt, dass die Autokorrelation nur vom Versatz abhängt; die Linearität der Fourier-Transformation wandelt Versatzstruktur in spektrale Struktur um und liefert so die Transformationsbeziehung zwischen Autokorrelation und Spektraldichte. ## Demonstration Demonstration Für einen reellen, mittelwertfreien, im weiten Sinn stationären Gaußprozess X(t) mit Autokorrelation R_X(τ) berechnet man S_X(ω)=∫_{-∞}^{∞}R_X(τ)e^{-iωτ}dτ; für weißen Rauschen mit R_X(τ)=(N0/2)·δ(τ) ergibt sich ein konstantes S_X(ω), was die Transformationsbeziehung veranschaulicht. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Anwendung des Satzes auf nichtstationäre Prozesse oder das ungeprüfte Verwenden von Stichprobenautokorrelationen aus einer einzigen endlichen Realisierung als exakte Ensembleautokorrelationen führt zu fehlerhaften spektralen Aussagen. ## Konsequenz Konsequenz Ermöglicht die Spektralschätzung aus Autokorrelationsschätzungen und umgekehrt und bildet die Grundlage für Filterentwurf und Systemidentifikation, die zwischen Zeitdomänenkovarianz und Frequenzdomänenleistung wechseln. ## Umkehrung Umkehrung Die Beziehung ist umkehrbar: Die Autokorrelation ist die inverse Fourier-Transformation der Leistungsdichtespektrums, sodass aus dem Spektrum die zweitordentlichen Zeitkorrelationen rekonstruiert werden können. ## Abgrenzung Abgrenzung Setzt stationarität im weiten Sinn voraus und dass R_X integrierbar ist (oder distributionsweise interpretiert werden kann bei verallgemeinerten Prozessen); für zeitdiskrete Fälle gelten analoge Summierbarkeitsbedingungen und Vorsicht gegenüber Aliasing. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Steht im Wettbewerb zu zeitabhängigen Spektraldarstellungen (STFT, Wigner–Ville), die Stationarität aufgeben; diese erfassen nichtstationäre Energieverteilungen, verlieren aber die einfache Autokorrelations–PSD-Dualität. ## Synthese Synthese Der Satz bringt auf den Punkt, dass unter zweitordentlicher Stationarität Autokorrelation und Spektraldichte zwei Seiten derselben Information sind, verbunden durch die Fourier-Transformation und austauschbar für Analyse und Konstruktion.