##  [Gauss–Markov-Theorem](/de/node/60607) 

 Definition

Die Aussage, dass im klassischen linearen Regressionsmodell mit Fehlern, die Erwartungswert null, unkorreliert und homoskedastisch sind, der Ordinary-Least-Squares-(OLS)-Schätzer der Regressionskoeffizienten der beste lineare unverzerrte Schätzer (BLUE) ist, d. h. er hat die kleinste Varianz unter allen linearen unverzerrten Schätzern.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Unter den Gauss–Markov-Bedingungen ist das Schätzproblem eine Projektion in einem Hilbertraum der Beobachtungen auf den Spaltenraum der Regressoren; lineare Unverzerrtheit zusammen mit Orthogonalität zum Residuenraum führt zur Varianzenminimierung innerhalb linearer Schätzer.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In einer einfachen linearen Regression mit Achsenabschnitt und i.i.d.-Fehlern gleicher Varianz sind die OLS-Schätzer lineare Funktionen der beobachteten Antworten; jede andere lineare unverzerrte Schätzung lässt sich mittels Varianzenrechnung zeigen, dass ihre Kovarianzmatrix gleich oder größer ist, womit die BLUE-Eigenschaft demonstriert wird.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anzunehmen, das Theorem gelte für nichtlineare Klassen (es beschränkt sich auf lineare Schätzer) oder die Normalverteilung sei erforderlich; OLS als BLUE zu verwenden, wenn Fehler heteroskedastisch, autokorreliert sind oder Regressoren endogen sind, macht die Aussage ungültig.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Begründet die Verwendung von OLS zur Schätzung und liefert die Grundlage für Standardfehlerformeln und Inferenz unter den genannten Annahmen; zeigt auf, wann alternative Schätzer (GLS, gewichtete kleinste Quadrate, Instrumentvariablen) erforderlich sind.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Wenn Homoskedastizität oder Unabhängigkeit verletzt sind, ist OLS nicht mehr garantiert die Varianz-minimierende Lösung unter linearen unverzerrten Schätzern; GLS oder andere Verfahren können dominieren und kehren die BLUE-Aussage um.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt nur für lineare Schätzer im klassischen linearen Modell mit endlichen zweiten Momenten und den spezifizierten Fehlerbedingungen; es behandelt nicht die Effizienz nichtlinearer oder verzerrter Schätzer und bietet keine allgemeine Finite-Sample-Optimalität außerhalb der linearen Klasse.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Wird oft gegenüber dem Cramér–Rao-Konzept der Effizienz gestellt, das die untere Varianzgrenze für alle unverzerrten Schätzer in parametrisierbaren Modellen behandelt; Gauss–Markov beschränkt sich auf lineare Schätzer und benötigt keine Verteilungsannahmen wie Normalität.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Gauss–Markov besagt, dass innerhalb der Klasse linearer unverzerrter Schätzer unter Nullmittelwert-, Unkorreliertheits- und Homoskedastizitätsannahmen OLS die Varianz minimiert; es ist eine projektionsbasierte, annahmeabhängige Optimalitätsaussage, die die Wahl des Schätzers lenkt und auf die Notwendigkeit von GLS oder IV bei Verletzung der Annahmen hinweist.