## [Modellbegleiter](/de/node/60485) Definition Eine Theorie T* ist ein Modellbegleiter einer Theorie T, wenn T* modellvollständig ist, T und T* dieselben universellen Folgerungen haben und die Modelle von T* genau die existenziell abgeschlossenen Modelle von T sind (äquivalent: jedes Modell von T lässt sich in ein Modell von T* einbetten). ## Prinzip Prinzip Ein Modellbegleiter axiomatziert die existenziell abgeschlossenen Erweiterungen von T: Er bewahrt die universelle Theorie und komplettiert zugleich die existenziellen Konsequenzen, so dass Einbettungen existenzielle Formeln widerspiegeln und der Begleiter modellvollständig wird. ## Demonstration Demonstration Die Theorie algebraisch abgeschlossener Körper einer festen Charakteristik ist der Modellbegleiter der Theorie von Körpern dieser Charakteristik: algebraisch abgeschlossene Körper sind genau die existenziell abgeschlossenen Körper, und der Begleiter ist modellvollständig. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu glauben, jede konsistente Theorie habe einen Modellbegleiter; allgemein muss ein Modellbegleiter nicht existieren, und die Existenz kann selbst für natürliche Klassen von Strukturen scheitern. ## Konsequenz Konsequenz Existiert ein Modellbegleiter, so ergibt sich eine modellvollständige Theorie, die Klassifikation, Entscheidbarkeitsfragen und den Transfer von Eigenschaften oft vereinfacht, weil existenzielle Abschlüsse durch Axiome ersetzt werden können. ## Umkehrung Umkehrung Das Gegenteil ist eine Theorie ohne Begleiter: Viele Theorien besitzen verschiedene existenziell abgeschlossene Modelle, die nicht durch einen einzigen modellvollständigen Begleiter erfasst werden können, sodass ein vielfältiges Spektrum an Komplettierungen bleibt. ## Abgrenzung Abgrenzung Betrifft Paare von Theorien (T, T*), wobei T* die universellen Folgerungen von T teilt; die Existenz ist heikel und hängt von syntaktischen und modelltheoretischen Zwängen ab (z. B. Konsistenz der EC-Axiome), und die Definition macht keine weitergehenden Aussagen zur Eindeutigkeit über logische Äquivalenz hinaus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen Modellbegleiter und Modellkompletion: Ein Modellbegleiter muss keine Modellkompletion sein (die zusätzlich verlangen kann, dass Modelle gegenseitig einbettbar sind und Quantorenelimination vorliegt); Modellkompletionen sind hingegen spezielle Modellbegleiter. ## Synthese Synthese Ein Modellbegleiter ist die modellvollständige Theorie, die genau die existenziell abgeschlossenen Modelle einer zugrundeliegenden Theorie erfasst; falls vorhanden, verwandelt sie existenzielle Abschlussbedingungen in Axiome und erlaubt so eine klarere semantische und syntaktische Analyse von Einbettungen und Lösungen.