## [Submersion](/de/node/60461) Definition Eine glatte Abbildung f : M -> N zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, deren Differential df_p an jedem Punkt p in M surjektiv ist; lokal verhält sie sich wie eine Projektion aus einem Produkt und verringert die Dimension durch vollständige Tangentialabbildungen in den Zielpunkten. ## Prinzip Prinzip Die Surjektivität des Differentials ist die ordnende Idee: Eine Submersion hat an jedem Punkt Rang = dim N, was lokale Trivialisierungseigenschaften (durch den Submersionstheorem) nach sich zieht und es erlaubt, die Zielmenge mit Bildern lokaler Karten zu überdecken, in denen f wie eine Projektion auf die letzten Koordinaten aussieht. ## Demonstration Demonstration Die kanonische Projektion R^{n+k} -> R^n ist das Modell einer Submersion; geometrischere Beispiele sind die Projektion eines Produktmanifolds M × N -> N oder eine surjektive Submersion einer Lie-Gruppe auf einen homogenen Raum, die lokal die Quelle als faserartiges Produkt darstellt. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eine Submersion mit einer Quotientenabbildung zu verwechseln oder anzunehmen, die Fasern seien Punkte, ist falsch: Die Fasern einer Submersion sind Untermannigfaltigkeiten (komplementärer Dimension) und können nichttrivial sein; außerdem ist die Surjektivität der Abbildung selbst unabhängig von der Surjektivität des Differentials. ## Konsequenz Konsequenz Eine korrekte Submersion liefert lokale Produktstrukturen, stellt sicher, dass Urbilder regulärer Werte Untermannigfaltigkeiten sind, und bildet die Grundlage für Faserungs- und Bündelkonstruktionen; sie ermöglicht Techniken wie Slicing und Reduktion durch Symmetrie. ## Umkehrung Umkehrung Das Gegenteil betont injektive Differentiale (Immersionen) oder kritische Abbildungen, bei denen das Differential nicht surjektiv ist, was zu singulären Fasern und Hindernissen für lokale Produktzerlegungen führt. ## Abgrenzung Abgrenzung Submersion ist nur in der glatten Kategorie mit Tangentialräumen sinnvoll; sie schließt stetige Abbildungen ohne Differenzierbarkeit aus, und das Theorem erfordert oft zusätzliche Regularitäts- und Zusammenhangsannahmen für globale Aussagen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Submersion steht semantisch in Spannung zu Faserungen und Quotientenabbildungen: zwar haben alle Faserungen lokales Produktverhalten, aber nicht jede Submersion ist global eine Faserung; ebenso projizieren Quotientenabbildungen ohne notwendigerweise differentielle Surjektivität zu besitzen. ## Synthese Synthese Eine Submersion ist die projektionsartige Abbildung der Differentialgeometrie: ihre surjektiven Differentiale erzeugen Fasern, die Untermannigfaltigkeiten sind, und geben dem Domain lokal eine Produktzerlegung über dem Ziel, Grundgerüst vieler Konstruktionen in Geometrie und globaler Analyse.