## [Immersion](/de/node/60459) Definition Eine glatte Abbildung f : M -> N zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, deren Differential df_p an jedem Punkt p in M injektiv ist; lokal bettet die Abbildung die Tangentialräume ein und fügt M in N ein, obwohl global Selbstüberschneidungen auftreten können. ## Prinzip Prinzip Die Injketivität des Differentials ist die ordnende Regel: eine Immersion erhält die lokale Dimensionsinformation (Rang = dim M) und liefert lokal eine Einbettung der Tangentialräume; Existenz und Verhalten werden durch Dimensionsungleichungen und die Differenzierbarkeitsklasse beschränkt. ## Demonstration Demonstration Ein einfaches Beispiel ist die Acht-Immersion der S^1 in R^2 durch eine geeignete periodische glatte Abbildung; ein anderes ist die Inklusion einer Untermannigfaltigkeit, die eine Immersion ist und zu einer Einbettung wird, wenn die Inklusion injektiv und ein Homöomorphismus auf ihr Bild ist. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Annahme, jede Immersion sei eine Einbettung, ist ein häufiger Fehler: Immersionen müssen nicht global injektiv oder proper sein, daher können Aussagen, die einen Homöomorphismus auf das Bild erfordern (z. B. Übertragung globaler topologischer Invarianten), fehlschlagen. ## Konsequenz Konsequenz Richtig angewandt sichert eine Immersion lokale Karten auf dem Bild und erlaubt das Zurückziehen von Tensoren und Differentialformen; sie unterstützt Konstruktionen, die auf lokaler Einbettung beruhen, etwa Transversalitätsargumente und bestimmte Operationen in der Chirurgie-Theorie. ## Umkehrung Umkehrung Das konzeptuelle Gegenteil sind Abbildungen mit degeneriertem Differential (kritische Punkte) oder Submersionen: statt Injketivität auf den Tangentialräumen betrachtet man Surjektivität (Projektionverhalten) oder das Versagen der Injketivität, das zu Singularitäten führt. ## Abgrenzung Abgrenzung Immersion bezieht sich auf die glatte/differenzierbare Kategorie mit einem wohl definierten Tangentialfunktor; sie schließt rein topologische Einbettungen oder stetige Injektionen ohne differenzierbare Struktur aus und ist abhängig von der Differenzierbarkeitsklasse (C^k, C^ usw.). ## Semantische Spannung Semantische Spannung Immersion steht semantisch in Spannung zur Einbettung: beide sind lokale Konzepte des ‚Einschiebens‘ einer Mannigfaltigkeit in eine andere, aber die Einbettung verlangt zusätzlich globale Injketivität und topologische Verträglichkeit; ferner konkurriert sie mit der schwächeren Topologie-Notion des lokalen Homöomorphismus. ## Synthese Synthese Eine Immersion ist das lokale, differentielle Einfügen einer Mannigfaltigkeit in eine andere: sie garantiert überall injektives Tangentialverhalten, ermöglicht eine lokale geometrische Identifikation der Quelle im Ziel und toleriert dabei globale Besonderheiten wie Selbstüberschneidungen.