##  [Konjugation](/de/node/60457) 

 Definition

Eine binäre Relation auf den Elementen einer Gruppe (oder einer algebraischen Struktur mit inversen Elementen), wobei zwei Elemente a und b konjugiert heißen, wenn ein invertierbares g existiert mit a = g b g^{-1}; die Äquivalenzklassen heißen Konjugationsklassen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Konjugation wird durch innere Automorphismen gesteuert: Das Konjugieren mit einem Element ist ein Automorphismus der Gruppe, und diese inneren Abbildungen partitionieren die Gruppe in Bahnen (Konjugationsklassen), deren Stabilisatoren Zentralisatoren sind.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In der symmetrischen Gruppe S3 sind alle Transpositionen konjugiert: etwa (12) = (13)(23)(13)^{-1}, die drei Transpositionen bilden also eine Konjugationsklasse; in GL(n) sind zwei Matrizen genau dann konjugiert, wenn sie dieselbe lineare Abbildung in verschiedenen Basen darstellen (Ähnlichkeit).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Konjugation als Identität oder als Kommutativität zu deuten — etwa zu behaupten, konjugierte Elemente seien gleich oder würden miteinander kommutieren — ist falsch und verkennt den Aktionscharakter der Konjugation.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Die richtige Anwendung der Konjugation liefert Invarianten und Klassifikationswerkzeuge: Klassenfunktionen, Charaktertafeln, das Zentrum (Elemente, die nur mit sich selbst konjugiert sind) und die Beziehung zwischen Konjugationsklassen und normalen Untergruppen durch Vereinigungskriterien.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehrung des Konzepts ist die Zentralität: Anstatt Elemente durch Koordinatenwechsel zu verbinden, fragt man, welche Elemente von allen Konjugationen festgehalten werden (zum Zentrum gehören), oder betrachtet man Koklassen, die Elemente ohne innere Konjugation identifizieren.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Konjugation ist in Kontexten mit Invertierbarkeit definiert (Gruppen, Gruppoide, invertierbare lineare Operatoren); naive Analogien in Halbringen oder nichtinvertierbaren Situationen benötigen angepasste Definitionen und führen nicht notwendigerweise zu äquivalenten Eigenschaften.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Semantisch steht Konjugation in Spannung zu Ähnlichkeit in der linearen Algebra und zu allgemeinen Äquivalenzrelationen: Ähnlichkeit ist ein spezieller Fall (Matrizen unter Basiswechsel), während andere Bahnenäquivalenzen fälschlich für Konjugation gehalten werden können, wenn die wirkende Gruppe nicht innerlich ist.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Konjugation fasst die Idee „gleich bis auf einen Koordinatenwechsel“ als von inneren Automorphismen erzeugte Äquivalenzrelation zusammen: Sie identifiziert Elemente mit gleichem inneren Verhalten, strukturiert die Gruppe in Klassen und Zentralisatoren und liefert das Vokabular für Invarianten in Darstellungstheorie und Klassifikation.