## [Epimorphismus](/de/node/60451) Definition Ein Morphismus e: A → B, der rechts-kürzbar ist: Für je zwei parallele Morphismen g,h mit demselben Ziel gilt ge = he ⇒ g = h. Er abstrahiert die Idee einer surjektiven struktur-erhaltenden Abbildung in vielen konkreten Kategorien, ist jedoch kategorienabhängig. ## Prinzip Prinzip Ein Epimorphismus kann rechts durch Postkomposition nicht unterschieden werden: Stimmen zwei Morphismen nach Komposition mit einem Epi überein, so waren sie bereits gleich; in Set ist jede surjektive Abbildung ein Epi, die Umkehrung hängt von der Kategorie ab. ## Demonstration Demonstration Die kanonische Projektion p: Z → Z/nZ ist in Set ein Epimorphismus, weil das Komponieren zweier Abbildungen, die auf Z/nZ übereinstimmen, mit p Gleichheit erzwingt; Quotientenabbildungen in algebraischen Kategorien sind typische Beispiele für Epis, sofern sie surjektiv sind. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu glauben, Epimorphismus bedeute in jeder Kategorie stets Surjektivität, oder dass jedes Epi eine Sektion (linksseitiges Inverses) besitzt; in manchen algebraischen Kategorien sind Epimorphismen nicht punktweise surjektiv oder splitten nicht. ## Konsequenz Konsequenz Epis fungieren als kategoriale Quotienten und sind zentral für Koegalisatorkonstruktionen; das Erkennen von Epis macht klar, wann ein Morphismus maximale Identifikationen im Kodomän erzwingt. ## Umkehrung Umkehrung Ein Nicht-Epimorphismus lässt sich durch geeignete Postkomposition unterscheiden: Es existieren verschiedene g,h mit ge ≠ he, also erzwingt e nicht die gewünschten Identifikationen im Kodomän. ## Abgrenzung Abgrenzung Epimorphismus ist rein durch Rechtskürzbarkeit definiert und ist nicht automatisch eine punktweise Surjektion außer in Kategorien wie Set; sein Verhalten hängt von den umgebenden kategorialen Axiomen ab. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Epimorphismus versus Surjektion: In Set fallen sie zusammen, in anderen Kategorien können sie auseinanderfallen; zudem Spannung mit 'regulärem Epimorphismus' oder 'gesplittetem Epimorphismus', die zusätzliche Eigenschaften (Koegalisator, Sektion) verlangen. ## Synthese Synthese Ein Epimorphismus ist die kategoriale Vorstellung einer Abbildung, die Identifikationen im Kodomän erzwingt, sodass verschiedene Postkompositionen nicht durch Komposition mit ihr gleich gemacht werden können: in vielen konkreten Rahmen entspricht dies auf die Abbildung 'auf' zu sein, doch wesentlich ist die Rechtskürzbarkeit der Pfeile.