## [Monomorphismus](/de/node/60449) Definition Ein Morphismus m: A → B in einer Kategorie, der links-kürzbar ist: Für je zwei parallele Morphismen g,h mit derselben Quelle gilt mg = mh ⇒ g = h. Er verallgemeinert die Idee einer injektiven struktur-erhaltenden Abbildung in konkreten Kategorien. ## Prinzip Prinzip Monomorphismen erhalten die Unterscheidbarkeit von Pfeilen in die Quelle: Durch Komposition mit einem Mono können zwei verschiedene Abbildungen nicht gleich gemacht werden; in Set entspricht dies der Injektivität von Funktionen. ## Demonstration Demonstration Die Inklusionsabbildung i: S → T einer Teilmenge S ⊆ T ist ein Monomorphismus, weil zwei in S verschiedene Abbildungen nach Einbettung verschieden bleiben; in der Kategorie der Moduln ist eine injektive lineare Abbildung ein Mono. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu behaupten, jeder Monomorphismus spalte (habe ein linksseitiges Inverses), oder Mono und Injektivität würden in allen Kategorien übereinstimmen; in manchen Kategorien ist ein Mono kein Einbettung der zugrunde liegenden Mengen und kann nicht splitten. ## Konsequenz Konsequenz Monomorphismen verhalten sich wie Einbettungen: Sie identifizieren ein Teilobjekt bis auf Isomorphie und erlauben Konstruktionen von Teilobjekten und Limiten; Ketten von Monos beschreiben Filtrierungen oder Verbandsstrukturen von Teilobjekten. ## Umkehrung Umkehrung Ein Nicht-Monomorphismus kann beim Komponieren verschiedene hereinkommende Morphismen zusammenfallen lassen und spiegelt daher Unterscheidungen in den eingehenden Abbildungen nicht treu wider. ## Abgrenzung Abgrenzung Monomorphismus ist eine rein kategoriale Bedingung und darf nicht mit punktweiser Injektivität verwechselt werden, außer in Kategorien, die auf Mengen beruhen; die genaue Bedeutung hängt von der umgebenden Kategorie und der Gleichheit der Pfeile ab. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Monomorphismus versus injektive Abbildung: In konkreten Kategorien stimmen sie oft überein, aber nicht immer; weiter Spannung zwischen 'Mono als Teilobjekt' und 'Mono als cancellable Pfeil' in abstrakten Zusammenhängen. ## Synthese Synthese Ein Monomorphismus ist die kategoriale Abstraktion einer injektiven Einbettung: ein links-cancellierbarer Morphismus, der—soweit sinnvoll—ein Objekt als echtes Teilobjekt innerhalb der Kategorie identifiziert.