## [Surjektion](/de/node/60447) Definition Eine Abbildung oder ein Morphismus f: X → Y, dessen Bild dem Kodomänen entspricht: Für jedes y in Y existiert x in X mit f(x)=y. ## Prinzip Prinzip Eine Surjektion stellt sicher, dass jeder Zielwert getroffen wird; in Set ist dies äquivalent zur Existenz eines rechtsseitigen Inversen und dazu, dass das Kodomän vollständig vom Bild bedeckt ist. ## Demonstration Demonstration Die kubische Abbildung f: R → R, f(x)=x^3, ist surjektiv, weil jede reelle Zahl eine reelle Kubikwurzel hat; die kanonische Projektion Z → Z/nZ ist surjektiv, da jede Restklasse einen ganzzahligen Vertreter besitzt. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eine Abbildung fälschlich für surjektiv halten, weil ihr Bild dicht oder groß ist, oder 'Bild = Kodomän' mit bloß 'Bild ≠ ∅' oder 'dichtes Bild' in topologischen Zusammenhängen verwechseln. ## Konsequenz Konsequenz Ist eine Abbildung surjektiv (in Set), so besitzt sie ein rechtsseitiges Inverses; Surjektivität ermöglicht Quotientenkonstruktionen und stellt sicher, dass kein Element des Kodomäns unerreichbar bleibt. ## Umkehrung Umkehrung Eine nicht-surjektive Abbildung hat ein Kodomän mit Elementen, die nicht getroffen werden; ihr Bild ist eine echte Teilmenge des Kodomäns. ## Abgrenzung Abgrenzung Surjektivität ist in konkreten Kategorien wie Set oder Top unmittelbar, aber in der allgemeinen Kategorientheorie entspricht der Begriff eher dem Epimorphismus und stimmt nicht in allen Kategorien überein. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Surjektion versus Epimorphismus: In Set sind sie gleich, in anderen Kategorien kann ein Epimorphismus nicht surjektiv sein; außerdem besteht Verwechslungsgefahr mit 'großem' oder 'dichtem' Bild in topologischen oder Maßkontexten. ## Synthese Synthese Surjektion bezeichnet Abbildungen, die ihr Kodomän vollständig erreichen; in konkreten Kategorien verbindet sich diese Eigenschaft mit rechtsseitigen Inversen und mit der Konstruktion von Quotienten.