##  [Punkt der Nichtdifferenzierbarkeit](/de/node/60429) 

 Definition

Ein Ort x0 im Definitionsbereich einer reellen oder vektorwertigen Funktion, an dem die Ableitung (oder Differential) nicht existiert oder nicht wohldefiniert ist, typischerweise wegen einer Ecke, einer Spitze, einer vertikalen Tangente oder oszillierenden Verhaltens, das die Konvergenz der linearen Approximation verhindert.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Differenzierbarkeit verlangt eine eindeutige lineare, erstordnungs-Approximation am Punkt; Fehlermodi treten auf, wenn linke und rechte lineare Approximationen auseinanderlaufen, divergieren oder auf der Größenordnung des Inkrements oszillieren.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Die Betragsfunktion f(x)=|x| hat bei x=0 einen Punkt der Nichtdifferenzierbarkeit, weil die linke Ableitung -1 und die rechte +1 ist. Die Spitze f(x)=|x|^{2/3} zeigt eine klassisch unendliche Steigung; das oszillatorische Beispiel f(x)=x^2 sin(1/x) (x≠0), f(0)=0, ist in 0 differenzierbar, während f(x)=x sin(1/x) 0 nondifferenzierbar macht wegen der oszillierenden Differenzenquotienten.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anzunehmen, dass Stetigkeit oder C^1-Eigenschaft auf dichten Teilmengen Differenzierbarkeit an jedem Punkt impliziert; punktweise fast überall Differenzierbarkeit mit Differenzierbarkeit an spezifischen Rand- oder Eckpunkten verwechseln.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Das Erkennen eines nicht differenzierbaren Punktes verlangt die Verwendung schwacher Ableitungen, Subdifferentiale, stückweise Analyse oder nonsmooth Kalkül; es beeinflusst die Wahl numerischer Verfahren ohne glatte Jacobians und leitet Regularitätsbeweise.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein differenzierbarer Punkt ist ein Punkt, an dem die lineare Approximation existiert und eindeutig ist; linke und rechte Differenzenquotienten stimmen überein und oszillatorisches Verhalten ist höherer Ordnung.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für Punkte im Definitionsbereich von Funktionen zwischen Banachräumen; schließt entfernbare Definitionslücken und Punkte, an denen die Funktion nicht definiert ist, aus, sofern nicht explizit distributionelle Ableitungen gemeint sind.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Unterschied zu Stetigkeit: Eine Funktion kann stetig und dennoch nicht differenzierbar sein (z. B. |x|). Spannung besteht auch gegenüber schwacher Differenzierbarkeit: Eine schwache L^2-Ableitung kann existieren, während die klassische punktweise Ableitung fehlt.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Punkt der Nichtdifferenzierbarkeit ist ein präziser lokaler Ausfall der ersten Ordnung linearen Approximation, erkennbar an widersprüchlichen, divergenten oder persistent oszillierenden Differenzenquotienten und erfordert schwache oder nonsmooth-Methoden.