## [Cuspidensingularität](/de/node/60419) Definition Ein lokaler nicht-glatter Punkt auf einer Kurve oder Fläche, an dem die Tangente (oder die Tangentialebene) entartet, sodass die lokale Geometrie eine spitze Form annimmt; analytisch ist es ein singulärer Punkt, an dem Ableitungen keine reguläre Tangentenrichtung liefern, zum Beispiel die ebene Kuspenschar mit Parametrisierung t ↦ (t^2,t^3). ## Prinzip Prinzip Eine Kuspensingularität entsteht, wenn zwei Äste einer Kurve mit übereinstimmender Tangentenrichtung, aber unterschiedlicher Kontaktordnung zusammenlaufen, was zum Versagen der Differenzierbarkeit führt; lineare Terme verschwinden und höhere Terme erzeugen die Spitze. ## Demonstration Demonstration Ebene Beispiel: die halb-kubische Parabel y^2 = x^3 am Ursprung ist eine Standardkuspensingularität — die Tangentenrichtung ist undefiniert, weil die ersten Ableitungen ersten Grades null sind. Flächenbeispiel: die Falte an einem Blatt kann eine eindimensionale Kuspensatzkurve erzeugen, an der Normale kollabieren. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Jedes scharfe Eck oder jeden polygonalen Scheitelpunkt als Kuspensingularität bezeichnen. Ein polygonales Eck hat zwei verschiedene, wohldefinierte Tangenten, die einen Winkel bilden; eine Kuspensingularität erfordert Tangentenentartung und ist eine höherordentliche analytische Singularität. ## Konsequenz Konsequenz Kuspen verhindern die Anwendung klassischer differenzialgeometrischer Begriffe (Krümmung kann divergieren oder undefiniert sein), beeinflussen die lokale analytische Klassifikation (Benötigung von Aufblähung/Blow-up zur Desingularisierung) und wirken sich auf Topologie und enumerative Invarianten algebraischer Kurven aus. ## Umkehrung Umkehrung Ein regulärer Punkt mit eindeutiger, nicht-entarteter Tangente oder Tangentialebene; im Gegensatz dazu eine transversale Schnittstelle oder eine Ecke mit unterschiedlichen Tangenten anstelle einer Entartung. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für analytische oder C^k-Kurven und -Flächen, bei denen Tangentenstruktur sinnvoll ist; schließt generische polygonale Ecken, fraktale Rauhigkeit ohne Tangentenkollaps und entfernbare Koordinatensingularitäten nach Reparametrisierung aus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Kuspe vs. Ecke oder Knoten: Eine Ecke hat unterschiedliche Tangentenrichtungen; ein Knoten ist die Schnittstelle getrennter Äste mit separaten Tangenten; eine Kuspensingularität ist ein einzelner Ast mit Tangentenentartung. Die Begriffe werden informell oft verwechselt, sind aber analytisch verschieden. ## Synthese Synthese Eine Kuspensingularität ist das analytische Phänomen, bei dem die lineare Tangentenbeschreibung an einer Kurve oder Fläche versagt und höhere Ordnungen eine spitze, nicht-glatte lokale Geometrie erzeugen; die Erkennung erfolgt durch Prüfung des Verschwindens erster Ableitungen und Klassifikation des höheren Verhaltens.