##  [Polstelle](/de/node/60407) 

 Definition

Eine Art isolierter Singularität einer komplexen Funktion, an der die Funktion wie eine reziproke Potenz endlicher Ordnung der lokalen Koordinate divergiert; lokal verhält sich die Funktion wie (z−z0)^{-m} mal einem holomorphen, nicht verschwindenden Faktor für ein m∈N.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Pole stehen für kontrollierte, algebraische Divergenzen: die Ordnung m misst die Wachstumsrate in der Nähe der Singularität und ermöglicht die Bestimmung des Hauptteils und der Residuen für Kurvenintegrale.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Die Funktion g(z)=1/(z−a)^2 hat einen Pol zweiter Ordnung bei z=a; in der Umgebung von a ist sie (z−a)^{-2} und ihre Laurentreihenentwicklung besitzt einen endlichen Hauptteil mit Termen bis (z−a)^{-2}.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Eine wesentliche Singularität als Pol zu behandeln oder jede Divergenz als Pol anzusehen, führt zu falschen Residuenrechnungen und einer inkorrekten lokalen Klassifikation; wesentliche Singularitäten enthalten unendlich viele Terme negativer Potenz und zeigen anderes Verhalten.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Das Erkennen von Polen und ihrer Ordnung ermöglicht Residuenberechnungen, die Klassifikation meromorpher Funktionen und das Verständnis analytischer Fortsetzungen sowie des Abbildungsverhaltens nahe Singularitäten.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Gegenüber stehen hebbare Singularitäten (keine Divergenz) und wesentliche Singularitäten (wildes, nicht-polynomielles Divergieren); Pole liegen in der klassischen Einteilung isolierter Singularitäten dazwischen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für isolierte Singularitäten in der komplexen Analysis; schließt nicht isolierte Singularitäten und Divergenzen in nicht-komplexen Kontexten aus, sofern keine Laurent-Entwicklung vorliegt. Die Pole-Definition setzt eine lokale holomorphe Faktorisierung voraus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen dem lokalen Laurent-Verhalten eines Pols und globalen Konzepten wie dem Nullstellenordnungsbegriff der Kehrfunktion; ferner zwischen der umgangssprachlichen 'unendlichen' Vorstellung und der präzisen algebraischen Divergenz endlicher Ordnung.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Pol ist eine isolierte Singularität, an der eine Funktion kontrolliert algebraisch divergiert: durch einen endlichen Laurent‑Hauptteil (z−z0)^{-m} charakterisiert, ist er zentral für Residuenrechnung und die Klassifikation meromorpher Funktionen.