##  [Morley-Grad](/de/node/60362) 

 Definition

Ein natürlichzahliges Invariant, das einer definierbaren Menge mit festem Morley-Rang zugeordnet wird und die Anzahl der definierbaren Komponenten höchster Rangstufe (bis auf definierbare Äquivalenz) in einer kanonischen endlichen Zerlegung zählt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Hat eine definierbare Menge X Morley-Rang α, so ist ihr Morley-Grad d die größte endliche Zahl n, sodass X in n disjunkte definierbare Teilmengen zerlegt werden kann, die jeweils Morley-Rang α haben; er misst also die Multiplizität der α-rangigen Komponenten in einer kanonischen Zerlegung.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In einem algebraisch abgeschlossenen Körper zerfällt eine algebraische Varietät in endlich viele irreduzible Komponenten maximaler Zariski-Dimension; der Morley-Grad entspricht dann der Anzahl jener maximaldimensionalen irreduziblen Komponenten (vorausgesetzt die Parameter fixieren die Zerlegung).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Den Morley-Grad anzuwenden, ohne zuerst den Morley-Rang zu fixieren, ihn auf Mengen mit unendlichem Rang zu verwenden oder ihn mit algebraischer Multiplizität oder Kardinalität zu verwechseln; oder ihn als invarianten unter beliebigen Parameteränderungen zu behandeln, obwohl er von definierbaren Parametern abhängen kann.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

In Kombination mit dem Morley-Rang liefert der Morley-Grad eine feine kanonische Zerlegung definierbarer Mengen in eine endliche Vereinigung von Komponenten höchster Rangstufe, ermöglicht Zählargumente, den Vergleich definierbarer Familien und Formulierungen von Eindeutigkeit bis auf endliche Äquivalenz.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Eine Menge mit Morley-Grad 1 zeigt eine einzige höchstrangige Komponente und verhält sich 'zusammenhängender'; ein höherer Morley-Grad signalisiert mehrere Spitzenkomponenten und eine Art definierbare Zerlegtheit.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert nur für definierbare Mengen mit wohlbestimmtem (typischerweise endlichem) Morley-Rang; fehlt oder ist wenig aussagekräftig für Mengen mit unendlichem Rang oder in instabilen Theorien, in denen die Rangtheorie keine Kontrolle über die Struktur bietet.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen Morley-Grad und algebraischer/geometrischer Multiplizität: Der Grad zählt definierbare Komponenten höchster Rangstufe, nicht die schematheoretische Multiplizität; er steht auch konzeptionell im Gegensatz zu Begriffen wie Zusammenhang und Irreduzibilität in der Geometrie.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Morley-Grad ist die endliche numerische Ergänzung zum Morley-Rang, die angibt, wie viele definierbare Komponenten höchster Rangstufe eine Menge besitzt, und ergänzt die rangbasierte Klassifikation durch Quantifizierung der Multiplizität maximaler Teile.