## [Lemma von Burnside](/de/node/60344) Definition Eine Zähltechnik, die die Anzahl der verschiedenen Bahnen (nicht äquivalente Konfigurationen) einer endlichen Menge unter der Wirkung einer endlichen Gruppe berechnet, indem man die Anzahl der Fixpunkte der Gruppenlemente mittelt. ## Prinzip Prinzip Eine Gruppe partitioniert eine Menge in Bahnen; die Anzahl der Bahnen entspricht dem Durchschnitt über die Gruppenlemente der Anzahl der von jedem Element fixierten Elemente. Damit reduziert sich die Zählung von Äquivalenzklassen auf die Berechnung der Fixpunktmengen für jede Symmetrie. ## Demonstration Demonstration Um Färbungen der Ecken eines Quadrats bis auf Rotation und Spiegelung zu zählen, listet man jede Symmetrie der dihedralen Gruppe auf, zählt die unter dieser Symmetrie invarianten Färbungen, bildet den Durchschnitt dieser Zahlen und erhält so die Anzahl der verschiedenen Färbungen unter der Gesamtgruppe. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Formel anzuwenden, wenn die betrachteten Symmetrieoperationen keine Gruppe bilden, wenn Gruppenlemente ausgelassen werden, oder sie auf unendliche Gruppen bzw. Mengen ohne Rechtfertigung anzuwenden, führt zu falschen Ergebnissen. ## Konsequenz Konsequenz Bietet ein einfaches algorithmisches Rezept zur Zählung nicht äquivalenter Konfigurationen; bei einheitlichen Farben oder Gewichten liefert sie exakte Bahnenzahlen und bildet die Grundlage für Verfeinerungen wie den Satz von Pólya für gewichtete oder kolorierte Objekte. ## Umkehrung Umkehrung Die Umkehrperspektive—Fixpunktzahlen aus bekannten Bahnzahlen abzuleiten—erfordert zusätzliche Struktur; allein die Bahnzahlen bestimmen gewöhnlich nicht eindeutig die Verteilung der Fixpunkte auf die Gruppenlemente. ## Abgrenzung Abgrenzung Vorausgesetzt ist eine endliche Gruppe, die auf einer endlichen Menge wirkt; nicht direkt abgedeckt sind kontinuierliche Gruppen, unendliche Mengen oder Wirkungen, bei denen Fixpunktberechnungen unpraktikabel sind, obwohl analoge maßtheoretische Versionen in anderen Kontexten existieren. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Es besteht Spannung zwischen der einfachen Mittelung von Burnside und dem Satz von Pólya, der Burnsides Idee mit Erzeugendenfunktionen und Zyklusindexpolynomen verbindet, um kolorierte Objekte mit Farbmultiplicitäten zu zählen; beide hängen zusammen, dienen aber unterschiedlichen Rechenzielen. ## Synthese Synthese Das Burnside-Lemma ist eine symmetriebezogene Zählregel: Für jedes Gruppenlement die Anzahl der von ihm fixierten Konfigurationen zählen, diese Zahlen über die Gruppe mitteln und so die Anzahl der nicht äquivalenten Konfigurationen unter der Gruppenwirkung bestimmen.