##  [Cauchys Integralsatz](/de/node/60318) 

 Definition

Grundlegender Satz der komplexen Analysis, der besagt, dass das Kurvenintegral einer holomorphen Funktion um jede geschlossene Kurve in einem einfach zusammenhängenden Gebiet null ist; äquivalent haben holomorphe Funktionen wegunabhängige Integrale und lokale Stammfunktionen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Holomorphie impliziert lokale Stammfunktionen; in einfach zusammenhängenden Gebieten gilt dies global, sodass Integrale über geschlossene Schleifen verschwinden und Integrale nur von den Endpunkten abhängen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Ist f holomorph auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet D und γ eine geschlossene stückweise glatte Kurve in D, so gilt ∮_γ f(z) dz = 0. Beispielsweise ist das Integral von e^z um jede geschlossene Schleife in ℂ null, da e^z ganz ist.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anwendung des Satzes in nicht einfach zusammenhängenden Gebieten oder wenn f Singularitäten innerhalb der Kurve hat (z. B. 1/z um eine Schleife, die 0 einschließt), oder Vernachlässigung von Orientierung und stückweiser Glattheit der Kurve.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht die Cauchysche Integralformel (Werte und Ableitungen durch Konturintegrale), Potenzreihenentwicklungen, analytische Fortsetzung und führt zur Residuensatz-Theorie bei vorhandenen Singularitäten.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein von null verschiedenes Kurvenintegral für scheinbar holomorphe Integranden zeigt das Versagen der Voraussetzungen an: Entweder ist der Integrand nicht holomorph im Gebiet (es gibt Singularitäten im Inneren) oder die Kurve ist nicht nullhomotop.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Voraussetzung ist Holomorphie auf und innerhalb der von der Kurve eingeschlossenen Region (oder dass die Kurve nullhomotop im Gebiet ist) sowie stückweise glatte geschlossene Pfade; gilt nicht für meromorphe Funktionen mit Polen im Inneren ohne Berücksichtigung von Residuen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung gegenüber reellen Linienintegralen, bei denen Exaktheit von konservativen Feldern und der Topologie des Gebiets abhängt; in der komplexen Analysis ist Holomorphie stärker und liefert starre Integrationsidentitäten, die im realen Fall fehlen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Cauchysche Integralsatz verbindet lokale holomorphe Regularität mit globalem Integrationsverhalten: in einfach zusammenhängenden holomorphen Gebieten verschwinden geschlossene Konturintegrale und bilden die Grundlage für Formeln und Reihenentwicklungen.