## [Eulersche Formel](/de/node/60306) Definition Identität der komplexen Analyse, die die komplexe Exponentialfunktion durch trigonometrische Funktionen ausdrückt: e^{iθ} = cos θ + i sin θ für reelles θ, über analytische Fortsetzung auf komplexe Argumente erweiterbar. ## Prinzip Prinzip Die komplexe Exponentialfunktion bildet Winkeladdition auf Multiplikation komplexer Zahlen ab; äquivalent liefern die Potenzreihen für e^z, sin z und cos z dieselbe Identität für reelle und dann komplexe Argumente durch Analytizität. ## Demonstration Demonstration Für θ = π ergibt die Formel e^{iπ} = −1, was zur bekannten Relation e^{iπ} + 1 = 0 führt. Bei der Lösung linearer DGLn mit konstanten Koeffizienten übersetzt die Darstellung mittels e^{iθt} Schwingungsverhalten in exponentielle Form. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Betrachtung von e^{iθ} als rein reellen Ausdruck oder das Ignorieren von Zweigen bei der Inversion der Exponentialfunktion (z. B. Anwendung des reellen Logarithmus auf komplexe Werte) führt zu Fehlinterpretationen; die Formel unreflektiert außerhalb analytischer Rahmen zu verwenden ist falsch. ## Konsequenz Konsequenz Verbindet exponentielle und trigonometrische Darstellungen, vereinfacht Rechnungen in Fourieranalysis, Elektrotechnik und DGLn und liefert kompakte Ausdrücke für Drehungen und Oszillationen. ## Umkehrung Umkehrung Trifft man die Entscheidung, trigonometrische Funktionen ausschließlich primär zu betrachten und das exponential-algebraische Bild zu verwerfen, geht die multiplicative Struktur verloren; rein symbolische Behandlung verbirgt analytische Feinheiten wie Verzweigungs­schnitte. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt genau für reelles θ und für komplexe z durch analytische Fortsetzung der definierenden Potenzreihen; beim Logarithmieren oder Invertieren im komplexen Bereich ist wegen Mehrdeutigkeit und Branchcuts Vorsicht geboten. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Wird oft mit dem speziellen Fall e^{iπ}+1=0 gleichgesetzt und romantisiert; es besteht Spannung zwischen formalen algebraischen Manipulationen und den notwendigen analytischen Voraussetzungen (Konvergenz, Verzweigungen). ## Synthese Synthese Die Eulersche Formel ist die analytische Identität, die die komplexe Exponentialfunktion als Drehung in der Ebene darstellt: aus Potenzreihen oder Differenzialgleichungen abgeleitet, macht e^{iθ} cos θ + i sin θ algebraisch handhabbar und verbindet Oszillation, Rotation und komplexe Lineargeometrie.