## [Fundamentalsatz der Algebra](/de/node/60295) Definition Die Aussage, dass jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten mindestens eine komplexe Nullstelle besitzt; äquivalent dazu zerfällt jedes Polynom vom Grad n über C in n lineare Faktoren, gezählt mit Vielfachheit. ## Prinzip Prinzip Die algebraische Abschlussfähigkeit des komplexen Zahlkörpers bedeutet, dass Polynomgleichungen nicht nullstellenfrei bleiben können: die algebraische Struktur erzwingt Zerlegung in lineare Faktoren. ## Demonstration Demonstration Beispiel: Das Polynom p(z)=z^2+1 hat die Nullstellen i und −i; das Polynom z^3−1 zerfällt in (z−1)(z−e^{2πi/3})(z−e^{4πi/3}) und zeigt damit Existenz und vollständige Faktorisierung. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Den Satz auf die reellen Zahlen anzuwenden und zu folgern, jedes reelle Polynom habe eine reelle Nullstelle (z. B. hat x^2+1 keine reelle Nullstelle). Oder zu behaupten, für alle Polynome gebe es stets geschlossene Formeln für die Nullstellen. ## Konsequenz Konsequenz Jedes Polynom über C lässt sich in lineare Faktoren zerlegen, was Existenz von Eigenwerten komplexer Matrizen, vollständige Faktorisierung und zahlreiche strukturelle Resultate in Algebra und Analysis ermöglicht. ## Umkehrung Umkehrung Über einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper wie R können nichtkonstante Polynome keine Nullstelle besitzen; die Umkehrung macht deutlich, dass algebraischer Abschluss die entscheidende Voraussetzung ist. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für Polynome mit komplexen Koeffizienten und positiven Grad. Trifft nicht auf konstante Polynome, auf Polynome über nicht abgeschlossenen Körpern und liefert keine allgemeinen konstruktiven Formeln für Nullstellen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Der Satz sichert die Existenz, sagt jedoch nichts über die Berechenbarkeit oder die geschlossene Darstellung der Nullstellen; Spannung zwischen Existenzbeweis und effektiver Bestimmung. ## Synthese Synthese Der Fundamentalsatz der Algebra stellt C als algebraisch abgeschlossenen Körper für Ein-Variablen-Polynome dar: Existenz einer Nullstelle führt zur linearen Faktorisierung und bildet eine Grundlage vieler algebraischer und analytischer Resultate.