##  [Modul der Stetigkeit](/de/node/60283) 

 Definition

Eine Funktion ω:[0,∞)→[0,∞) mit ω(0)=0 und meist nichtabnehmend, so daß |f(x)−f(y)| ≤ ω(|x−y|) für alle x,y gilt; sie quantifiziert, wie die Funktionsvariation durch Eingangsinkremente kontrolliert wird.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Das Stetigkeitsmodul ist ein quantitatives Maß der gleichmäßigen Stetigkeit: es codiert die maximal erlaubte Oszillation auf jeder Skala und unterscheidet uniformes, Hölder- und Lipschitz-Verhalten durch das Wachstum von ω nahe Null.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Eine Hölder-stetige Funktion mit Exponent α hat Modul ω(t)=C t^α; eine Lipschitz-Funktion hat lineares Modul ω(t)=L t; für eine gleichmäßig stetige, aber nicht Hölder-Funktion kann man ein unterlineares ω konstruieren, das langsamer gegen Null geht.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Ein Modul zu verwenden, das nicht gegen Null in 0 geht, oder Monotonie zu vernachlässigen, liefert unbrauchbare Schranken; ohne Prüfung, ob ein kleineres zulässiges Modul existiert, falsifiziert man leicht die tatsächliche Regularität.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Die Festlegung eines Moduls liefert explizite gleichmäßige Stetigkeitsabschätzungen, hilft bei Gleichgradigkeitsprüfungen (Arzelà–Ascoli) und liefert maßstabsabhängige Schätzungen, nützlich in Approximation und Stabilitätsanalyse.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Fehlen eines Moduls, das in 0 verschwindet, deutet auf Unstetigkeit hin; die Ersetzung durch ein gröberes (größeres) ω schwächt die Kontrolle, kann aber Beweise vereinfachen, während das Streben nach minimalem Modul Regularitätsaussagen schärft.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert relativ zur Metrik auf Definitions- und Zielraum; das Modul ist nicht eindeutig, nur seine Äquivalenzklasse nahe Null bestimmt die qualitative Regularität, und Erweiterungen auf werte in Vektorräumen erfordern kompatible Normen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen Modul und Lipschitz-Konstante: Letztere ist ein spezielles lineares Modul. Es besteht ferner Spannung zur punktweisen Stetigkeit: das Modul ist global/gleichmäßig, punktweise Modi können ortsabhängig sein.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Stetigkeitsmodul ist eine skalenabhängige Schranke ω(t), die die maximale Oszillation auf der Skala t misst; durch Wahl oder Abschätzung von ω klassifiziert man die Stetigkeitsstärke (Lipschitz, Hölder, gleichmäßig) und erhält quantitatives Kontrollwerkzeug für die Analyse.