##  [Rang](/de/node/60275) 

 Definition

Der Rang einer linearen Abbildung (bzw. Matrix) ist die Dimension ihres Bildes (Spaltenraum); äquivalent die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten- oder Zeilenvektoren einer darstellenden Matrix.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Den Rang berechnet man als dim Im(A) oder als Anzahl der Pivotspalten in der Zeilenstufenform. Für eine Abbildung V → W mit endlichdimensionalem Definitionsraum gilt Rang ≤ dim(Domäne).

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für A = [[1,2,3],[2,4,6],[0,0,1]] ist die zweite Zeile das doppelte der ersten und die dritte Zeile unabhängig, somit hat der Spaltenraum Dimension 2 und Rang(A) = 2.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Den Rang mit der Anzahl nichtverschwindender Einträge gleichzusetzen, oder anzunehmen, eine Nulldeterminante gebe ohne weitere Analyse exakt an, wie viele unabhängige Richtungen verloren gingen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Der Rang bestimmt Lösbarkeitseigenschaften linearer Gleichungssysteme (Existenz von Lösungen, Dimension des Lösungsraums), die Dimension der Bilder linearer Abbildungen und tritt direkt im Rang–Nullitätssatz auf.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das komplementäre Konzept ist die Nullität: während der Rang die Bilddimension misst, misst die Nullität die Dimension des Kerns; zusammen ergeben sie in endlichen Dimensionen die Dimension des Definitionsraums.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Üblicherweise für endlichdimensionale Vektorräume und Matrizen formuliert; bei unendlichdimensionalen Operatoren kann der Rang unendlich sein oder es sind endliche Rangapproximationen nötig. Rang betrifft lineare Unabhängigkeit, nicht die numerische Größe von Einträgen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zum Determinantenbegriff: der Determinant zeigt Vollrang (Invertierbarkeit) bei quadratischen Matrizen an, quantifiziert jedoch keinen partiellen Rang; Spannung zur algebraischen Vielfachheit entsteht bei der Interpretation von Null-Eigenwerten und deren Vielfachheiten.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Rang ist das linear‑algebraische Maß für die Anzahl unabhängiger Ausgangsrichtungen einer linearen Abbildung; er lässt sich via Bild oder Pivots berechnen, bestimmt Lösbarkeit und den dimensionsmäßigen Ausgleich zur Nullität und bildet die Grundlage vieler Matrizenresultate.