##  [Geometrische Vielfachheit](/de/node/60274) 

 Definition

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist die Dimension seines Eigenraums: der Unterraum aller Vektoren v mit (A − λI)v = 0. Sie zählt die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Geometrische Vielfachheit = dim ker(A − λI); sie ist für einen Eigenwert λ mindestens 1 und überschreitet niemals die algebraische Vielfachheit von λ.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für A = [[2,1,0],[0,2,1],[0,0,2]] ist das charakteristische Polynom (λ−2)^3, die algebraische Vielfachheit von 2 ist also 3, aber ker(A−2I) ist eindimensional (Eigenvektoren sind Vielfache von [1,0,0]^T), folglich ist die geometrische Vielfachheit von 2 gleich 1.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anzunehmen, geometrische Vielfachheit gleiche der algebraischen ohne Prüfung; verallgemeinerte Eigenvektoren zum Eigenraum zu zählen; oder zu erwarten, dass Eigenvektoren verschiedener Eigenwerte im Allgemeinen linear abhängig seien.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Geometrische Vielfachheiten bestimmen, wie viele unabhängige Eigenvektoren zur Verfügung stehen; eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn für jeden Eigenwert die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit ist.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die maximale geometrische Vielfachheit tritt ein, wenn sie der algebraischen Vielfachheit entspricht – das Gegenstück ist ein defekter Eigenwert, bei dem die geometrische Vielfachheit strikt kleiner ist.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert bezüglich des Grundkörpers und nur für Eigenwerte, die in diesem Körper liegen; bei Körpererweiterung kann sich der Eigenraum und seine Dimension ändern. In unendlichdimensionalen Räumen können Eigenräume unendliche Dimension haben und benötigen gesonderte Behandlung.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zur algebraischen Vielfachheit: algebraisch ist ein Nullstellen‑Zählbegriff, geometrisch ist ein linearalgebraischer Dimensionsbegriff; beide begrenzen einander, bestimmen sich aber nur durch die Ungleichung 1 ≤ geometrisch ≤ algebraisch.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die geometrische Vielfachheit misst die lineare Unabhängigkeit der Eigenvektoren zu einem Eigenwert; sie bestimmt die Dimension der Eigenräume und regelt zusammen mit der algebraischen Vielfachheit Diagonalisierbarkeit und Jordanstruktur.