##  [Modellkompletion](/de/node/60251) 

 Definition

Eine Verfeinerung einer prädikatenlogischen Theorie T, die eine Theorie T* (falls existent) erzeugt, deren Modelle genau die existential-abgeschlossenen Modelle von T sind; T* ist modellvollständig, wenn jede Einbettung zwischen Modellen von T* elementar ist, äquivalent dazu ist jede Formel in T* äquivalent zu einer existentiellen Formel.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Man identifiziert die Klasse existential-abgeschlossener Modelle innerhalb der Modelle von T und axiomatisiert deren Theorie T* so, dass für Modelle M ⊆ N von T* die Inklusion elementar ist; die Modellkompletion liefert, falls vorhanden, Quantorreduktion bis zu existentiellen Formeln und starke Transfereigenschaften für Einbettungen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper ist die Modellkompletion der Theorie der Körper: Jeder Körper lässt sich in einen algebraisch abgeschlossenen Körper einbetten, der für polynomiale Gleichungen existential-abgeschlossen ist, und algebraisch abgeschlossene Körper machen Einbettungen elementar, was Modellvollständigkeit ergibt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Ohne Konstruktion oder Eindeutigkeitsbeweis anzunehmen, dass für eine beliebige Theorie eine Modellkompletion existiert, ist irreführend — viele Theorien besitzen keine Modellkompletion, und das Erzwingen eines Kandidaten ohne Prüfung der existentialen Abschlossenheit oder Elementarität führt zu falschen modelltheoretischen Aussagen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Existiert eine Modellkompletion, gewinnt man ein einheitliches modelltheoretisches Kontrollinstrument: Quantorreduktion, starke Homogenität der Modelle, Entscheidbarkeit und Transfer von Eigenschaften über Einbettungen sowie eine kanonische Beschreibung existential-genericer Strukturen innerhalb der Ausgangstheorie.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die umgekehrte Sicht ist das Studieren eines Modellbegleiters oder einer konservativen Erweiterung: Anstatt T zu seinen existential-abgeschlossenen Modellen zu vervollständigen, beschränkt man sich auf bestimmte nicht-existential-abgeschlossene Unterklassen oder betrachtet konservative Erweiterungen, die mehr Syntax bewahren, aber keine Modellvollständigkeit bieten.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für prädikatenlogische Theorien und betrifft ihre modelltheoretische Hülle von existential-abgeschlossenen Modellen; schließt Nicht-erstordnungslogiken aus, sofern nicht umformuliert, und nicht jede Theorie besitzt eine Modellkompletion oder einen Modellbegleiter.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Modellkompletion wird leicht mit Quantorenelimination, Modellbegleiter oder algebraischem Abschluss verwechselt; die Spannung liegt darin, dass Modellvollständigkeit eine semantische Eigenschaft über Einbettungen und existentiale Abschlossenheit ist, während Quantorenelimination eine stärkere syntaktische Forderung darstellt.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Modellkompletion charakterisiert die maximale Theorie zu T, deren Modelle existential-abgeschlossen sind: Falls T* existiert, macht sie Einbettungen elementar und vereinfacht die Theorie, indem sie den Fokus auf generische existentielle Lösungen legt und Quantoren vereinfacht.