## [Abgeleiteter Funktor](/de/node/60246) Definition Eine Konstruktion, die einem (typischerweise nicht exakten) additiven Funktor F zwischen abelschen Kategorien eine Folge von Funktoren R^iF bzw. L_iF (rechte bzw. linke abgeleitete Funktoren) zuordnet, welche das Versagen der Exaktheit messen; gewonnen, indem man F auf eine injektive bzw. projektive Auflösung anwendet und Kohomologie bzw. Homologie nimmt, oder äquivalent durch Übergang zum totalen abgeleiteten Funktor in der abgeleiteten Kategorie. ## Prinzip Prinzip Die Obstruktion gegen Exaktheit eines Funktors wird in höheren homologischen Invarianten kodiert; man berechnet diese, indem man Objekte auflöst, so dass die Anwendung des Funktors homologisch handhabbar wird, und zieht dann die Obstruktionsgrade als Homologie-/Kohomologiegruppen heraus. ## Demonstration Demonstration Tensorprodukt − ⊗_R − ist rechts-exakt; seine links-abgeleiteten Funktoren sind Tor_i^R(−,−). Hom_R(−,−) ist links-exakt im ersten Argument; seine rechts-abgeleiteten Funktoren sind Ext^i_R(−,−). Diese erhält man durch Anwendung des Funktors auf geeignete Auflösungen und Ablesen der Homologiegruppen. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu versuchen, abgeleitete Funktoren aus der Anwendung von F auf nicht-resolvierende Komplexe abzulesen, Gebundenheits- oder Existenzvoraussetzungen zu ignorieren oder die naive Homologie eines beliebigen Komplexes mit dem abgeleiteten Funktor gleichzusetzen, ohne Quasi-Isomorphismus-Invarianz zu prüfen. ## Konsequenz Konsequenz Abgeleitete Funktoren erzeugen lange exakte Folgen, Spektralsequenzen und andere formale Werkzeuge (z. B. Grothendieck-Spektralsequenz), die steuern, wie Funktoren mit exakten Folgen interagieren; sie verallgemeinern klassische Invarianten wie Tor und Ext und sind grundlegend für Methoden der abgeleiteten Kategorien. ## Umkehrung Umkehrung Der nicht-abgeleitete Funktor ist das Ergebnis der direkten Anwendung von F auf Objekte: er ignoriert höhere Obstruktionsdaten und verliert damit die homologische Information, die abgeleitete Funktoren erfassen. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert in abelschen Kategorien (oder stabilen ∞-Kategorien), in denen geeignete projektive oder injektive Auflösungen existieren oder abgeleitete Kategorien verfügbar sind; Vorsicht in nicht-abelschen Kontexten, bei nicht-additiven Funktoren oder bei der Verwendung unbeschränkter Komplexe ohne geeignetes Modell- oder abgeleitetes Rahmenwerk. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen linken und rechten abgeleiteten Konstruktionen (Wahl projektiver vs. injektiver Auflösungen), zwischen klassischen auf Auflösungen basierenden abgeleiteten Funktoren und moderneren Konstruktionen in abgeleiteten/∞-Kategorien sowie zwischen rechnerischer Praktikabilität und konzeptueller Funktorialität. ## Synthese Synthese Ein abgeleiteter Funktor hebt einen klassischen Funktor zu einem homologischen Invariant, indem Eingaben so aufgelöst werden, dass das Versagen der Exaktheit des Funktors in Homologie- oder Kohomologiegraden höheren Ranges erfasst wird und systematische Invarianten (R^iF, L_iF) erzeugt werden, die Erweiterungen, Obstruktionen und Spektralsequenzphänomene steuern.